|
Значения кажущихся, т. е.
соответствующих упругой гипотезе, величин напряжений трещинообразования могут
быть вычислены по формулам параграфа 3, в которых за величину Р принимается
нагрузка, при которой наблюдалось образование трещин.
Можно также вычислить «теоретическую» величину нагрузки
трещинообразования Р\ приравнивая напряжения, приведенные в параграфе 3,
величине R' — временного сопротивления бетона растяжению.
Таким образом, нагрузки, при которых образовались трещины,
оказываются значительно больше получаемых на основании положений теории
упругости.
Такие расхождения нельзя приписать ошибкам наблюдений,
учитывая принимавшиеся меры к обнаружению трещин с момента их появления.
Кроме того, порядок величин расхождения слишком велик для того, чтобы можно
было допустить подобное объяснение.
В журнальной статье (см. выше) мы попытались найти
объяснение в возникновении явлений пластичности при деформации растяжения.
Если бы подобная пластичность могла проявиться, истолкование указанных
расхождений не представило бы затруднений.
Однако поскольку эта гипотеза явилась предметом оживленной
дискуссии, мы были вынуждены провести дополнительные «испытания, которые
будут описаны в главе XIII.
Эти испытания в аналогичных условиях, по-видимому,
доказывают отсутствие пластических явлений при деформации растяжения. Если
согласиться с этим заключением, то приходится допустить, что деформации
оставались упругими, -по крайней мере, это касается растяжения. Приходится
искать объяснение в другом направлении.
Появление трещины не может быть определено вполне точно,
какие бы старания ни были приложены к ее обнаружению; все зависит от точности
инструментов наблюдения. Другими словами, существует некоторый уровень
видимости, ниже которого признается, что в бетоне нет трещин. То
обстоятельство, что в действительности трещины образовались ранее, нам представляется
не имеющим практического' значения, и каждый инженер будет считать вполне
удовлетворительным сооружение, в котором строгий осмотр не обнаружит ни одной
видимой трещины. Ему не придет в голову воспользоваться микроскопом, чтобы
проверить этот осмотр.
Но между моментом возможного появления микротрещин и
моментом обнаружения трещины система могла измениться по существу. Законы
изменения моментов могли сами измениться и могли возникнуть внутренние
напряжения. Ясные примеры таких внутренних напряжений мы найдем в описании
испытаний плит .
В балке, за исключением некоторых особых случаев опирания,
внутренними напряжениями должны по преимуществу являться перенапряжения
пучков и арматуры из мягкой стали.
При испытаниях статически определимых балок мы встречали
очень высокие значения сопротивления образованию трещин. Каково бы ни было
объяснение этих сопротивлений, если их принять в качестве экспериментальных
данных, то пришлось бы для кажущегося временного сопротивления растяжению
принять R"=R'+0,6X среднее значение предварительного напряжения. Так как
это среднее напряжение в данном случае равно 70 кг/см2, то величину R"
придется принимать. При этом значении временного сопротивления результаты,
полученные при испытании балок В и С, мюгли бы быть приблизительно объяснены,
так как величины нагрузок, соответствующих образованию трещин, получаются: 3 200 кг в (нижнем пролете) для балки В и 2 800 кг (на опоре) или 2 750 кг (в нижнем пролете) для балки С. Эти величины близки к установленным при испытаниях.
Но величина нагрузок, вызывавших образование трещин в
балках Ах и А2у не находит объяснения. Они отличаются одна от другой на 20%,
но балка Аи не армированная мягкой сталью, могла дать трещины преждевременно
(кроме того, следовало бы объяснить, почему трещина образовалась в пролете, а
не на опоре). Остается найти объяснение случаю с балкой А2, так как если даже
допустить для кажущегося временного сопротивления величину R" = 88
кг/см2, теоретическая нагрузка, вызывающая образование трещин (на опоре),
должна была бы быть 1 390 кг вместо установленных наблюдением 2 000 кг.
Предварительное напряжение балки А2 было преднамеренно
выполнено весьма своеобразным- способом: исходя из положений теории
упругости, предварительное напряжение было слабым на опоре и хорошим в пролете
в противоположность армированию балки пучком, которое было хорошим на опоре и
слабым в пролете.
С другой стороны,- различие между величинами
(теоретическими) сопротивления образованию трещин опорных сечений и сечений в
пролете было гораздо больше, чем у балок В и С — этим может быть объяснено и
различное поведение балок при испытаниях.
Как бы то ни было, частично объяснение может быть найдено
в перенапряжении пучка. Образование трещин было замечено, когда относительное
удлинение на уровне пучка (датчик 42) достигло 400-10~"6» или 0,0004.
Расстояние между двумя последовательными трещинами (
VIII.7) составляло около 10 см, поэтому раскрытие трещины в этот момент
должно было бы быть около 0,0004-100 = 0,04 мм.
Это соответствует порядку наблюдавшейся величины раскрытия
и приблизительно является нижним уровнем видимости, учитывая имевшиеся
инструменты (можно было увидеть и более тонкие трещины, но можно упустить их
появление, если они образуются в течение наращивания нагрузки).
Перенапряжение пучка при этом составляет 0,0004-20
000=8/сг/лш2? т. е. дополнительное усилие в пучке равно 235-8=1880 кг с
эксцентрицитетом 0,10 м. Пучок, кроме того, подвергается на всем своем
протяжении действию удлинений или укорочений в соответствии с напряжениями в
зонах окружающего его бетона; усилие перенапряжения при этом составляет тМ
о> --(где т—коэффициент эквивалентности и> — сечение пучка, у—
геометрический эксцентрицитет пучка и М — изгибающий момент, созданный
нагрузками). Усилие предварительного напряжения, таким образом, изменяется в
каждом сечении.
Но для балки А2 изменение усилия предварительного
напряжения в значительной степени соответствует условию совмещенности,. как
можно убедиться путем графической интеграции величины
Однако трудно предположить, что /?'=88 кг/см2 и
одновременно учитывать перенапряжение пучка и арматуры из мягкой стали; одной
иа причин увеличения R' с 46 до 88 кг/см2 является именно это перенапряжение.
Следует либо допустить, что R'=88 кг/см2, и не учитывать
перенапряжений, откуда, как было показано выше, получается Р' = 1 390 кг, либо принять R'=46 кг/см2 и учитывать перенапряжение пучка, тогда получается Р'=1080 кг.
Может быть, из этого вытекает, что эффект перенапряжения пучка несколько
больше, чем получено по расчету.
При всех условиях указанными соображениями можно оправдать
величину Р' не более чем 1390 кг. Однако еще один довод может быть найден в
том, что когда в сечении балки образовалась хотя бы и незаметная трещина, то
жесткость балки на опоре уменьшается. Можно путем графического интегрирования
довольно легко определить вытекающее из этого уменьшение изгибающего момента;
для этой цели предполагается, что трещина эквивалентна врезке в форме V,
ограниченной двумя прямыми, проведенными под углом 45° из наиболее глубокой
точки трещины. Получается, приблизительно, что для части нагрузки,
превышающей 660 кг (теоретическая нагрузка, соответствующая образованию
трещин), уменьшение изгибающего момента на опоре составляет порядка 20%.
Путем расчета, аналогичного- приведенному выше, получается увеличение
величины Рг на 10%.
Еще одно соображение может вытекать из явлений
пластичности при сжатии. Если считать, что трещины в. сечении отсутствуют, то
сжимающее напряжение должно быть порядка 146 + 6—14,5+57,5-^^ , т. е. при Р=2
000 кг напряжение на нижней грани равно 252 кг!см2\ при наличии трещин в сечении напряжение значительно выше.
Уменьшение момента на опоре вследствие пластических
деформаций может в таком случае быть гораздо больше, чем то, которое
соответствует уменьшению жесткости, вызванному образованием трещин.
Констатированные при испытаниях повышенные значения сопротивлений
являются несомненно результатом совместного действия всех приведенных причин,
однако оценить их путем вычисления трудно.
Во всяком случае, если придерживаться положений теории
упругости, то при R' = 46 кг/см2 следовало бы принять за предельную нагрузку 660 кг. При величине разрушающей нагрузки в 3 800 кг коэффициент безопасности был бы равен около 6.
Подобный излишний запас прочности можно встретить во
многих примерах статически неопределимых сооружений, если определение их
размеров производится по законам теории упругости. Это происходит в
особенности в тех случаях, когда усилие предварительного напряжения неудачно
расположено, что часто встречается в зонах, которые могут подвергаться
изгибающим моментам в направлении, противоположном тому, для которого
определены размеры сечений, например, опорные сечения, рассчитанные на
сильные отрицательные моменты, но могущие подвергаться действию слабых
положительных моментов.
Можно, действительно, представить себе, что для сечений с
малыми предельными моментами возможные причины увеличения возникающих в них
изгибающих моментов могут иметь сравнительно большее значение, чем для
сечений, имеющих большие предельные моменты.
Мы позднее вернемся к этому вопросу и к вопросу о
рекомендуемых величинах предельных напряжений.
бе представляет сумму изостатического момента ц и
дополнительного момента М, то смещение будет равно. Момент М+М0 в каждом
пролете является линейной функцией абсциссы, которая определяется, когда
известны ее значения в двух сечениях пролета, в частности — значения в
опорных сечениях.
Далее, в результате явлений, рассмотренных в главе VII,
изгибающие моменты на опоре принимают в случае полной приспосабливаемое™
конструкции и полного использования сечений (т. е. если р принимает
наибольшие возможные значения) весьма определенные величины, именно такие,
чтобы в сооружении в целом образовалось желательное число пластических
шарниров. Это число должно быть на одну единицу больше числа, при котором,
если бы пластические шарниры были истинными шарнирами, сооружение становилось
бы статически определимым.
Совокупность величин (М0 + М), соответствующих различным
опорам, определяется единым образом и нет оснований при рассмотрении вопросов
разрушения делать различие между моментами М0 и М или между реакциями от
предварительного напряжения R0 и дополнительными реакциями R.
Существует только одна система реакций, допускающая
осуществление полной приспосабливаемости, и если предположение полной
приспосабливаемое™ оправдывается , то образуется именно эта система реакций.
Предположим сначала, что можно применить изложенную в
первом томе упрощенную теорию расчета разрушающих изгибающих моментов. Из
этой теории мы выведем способ расчета статически неопределимых сооружений, в
который затем внесем некоторые поправки.
В указанной обобщенной теории предполагается, что в
разрушающемся сечении напряжение (пучка достигает своего разрушающего
значения Тт и оказываемое им усилие достигает разрушающего значения Fr.
Предполагается также, что на всей высоте сжатого бетона у> выше образовавшихся
трещин, сжимающее напряжение одинаково.
По упрощенной теории эти две линии U и U' проходят в
расстояниях и и ц' параллельно верхнему и нижнему очертаниям балки.
За исходное состояние примем эксплуатационную нагрузку.
Соответствующая этому случаю кривая давления строится, используя расположение
пучка, посредством вычисления смещений —, где М — момент в некотором сечении
(включая дополнительные моменты) и — усилие, производимое пучком, т. е.
постоянное усилие предварительного которого всякое дальнейшее увеличение
нагрузки становится невозможным.
При принимаемой нами для расчета разрушающего момента
упрощенной гипотезе во всех сечениях балки, соответствующих точкам
соприкасания, усилие, производимое арматурным пучком, достигает величины Fir,
равной разрушающему усилию; во всех остальных сечениях F< FR.
Можно поэтому задать себе вопрос: выгоднее ли пользоваться
построенными таким образом кривыми давления, чем эпюрами главы VII.
Фактически оба эти метода равноценны, но приведенный в
настоящей главе — более наглядный; именно вблизи от точек соприкасания с
граничными линиями условная кривая давления в значительной степени сливается
с действительной кривой давления и это дает более конкретное представление о
тех размерах конструкции, которые следует- предусмотреть, учитывая, что
сущность определения размеров сечений заключается в том, чтобы вокруг линий
давления разместить достаточное количество материала; в частности, этот
способ облегчает определение очертания вутов.
Во всяком случае, когда линия давления таким образом
определена, геометрические построения сводятся к вычерчиванию таких линий в
различных пролетах. Ординаты этих линий по отношению к пучкам в. пролетах
равны —, где р — изостатический момент, вызываемый на- F
прузка>ми в случае шарнирного олирания обоих концов
пролета, причем момент этот в пролетах, загруженных временной нагрузкой,
соответственно увеличивается умножением на коэффициент k. Когда форма линий
давления таким образом определена, намечают их хорды (т. е. точки прохождения
линий давления на вертикалях опор) так, чтобы в загруженных пролетах
повышающий коэффициент k был бы возможно» больше. Этот выбор точек
прохождения равносилен наиболее благоприятному перераспределению реакций; в
данной главе, так же как и: в предыдущей, предполагается, что это
наивыгоднейшее перераспределение может быть произведено без ограничений.
Короче говоря, следует расположить между граничными
линиями- кривые давления с наибольшими возможными стрелами по отношению, к их
хордам.
Обоснованность упрощенного расчета разрушающего момента
обсуждалась в главе VI. Мы видим, что в действительности усилие, оказываемое
арматурным пучком, никогда не достигает величины разрушающего усилия Fr, а
только некоторого 'значения №гу где X — коэффициент, меньший единицы. Разрушающий
момент Мг равняется XFr z, где z — плечо, величина которого также была
определена в. главе VI.
Мы можем, однако, по-прежнему заменять действительную
линию давления фиктивной линией давления, соответствующей предположению, что
достигнутое усилие равно Fr
—от пучка, а кривую давления — откладывая ординаты — от
хорд. Усилие FR
FR в этом случае является полным (суммарным) усилием,
производимым пучком и арматурой, и равно сумме разрушающего усилия пучка и
усилия, производимого дополнительной арматурой; если диаграмма удлинения этой
арматуры имеет площадку текучести, то производимое ею усилие соответствует
этой площадке .
Итак, при любых обстоятельствах можно начертить граничные
линии U и UF. Указанные нами построения сводятся к следующим:
а) нанести кривую ц, ординаты которой относительно
пучка С равны — • Эта кривая р. имеет в пролете ту же хорду, что и пучок, так
как на концах этого пролета ц =0;
б) сместить кривую ц без изменения присущей ей
формы таким образом, чтобы вписать ее между граничными линиями U и U'\
полученная таким образом кривая М и будет приемлемой, когда ее стрела
относительно ее хорды будет наибольшей возможной.
Для того чтобы получить эту наибольшую стрелу, необходимо,
по возможности, расположить точки кривой М на промежуточных опорах —на нижней
граничной линии U'\ в пролете же линия М должна коснуться верхней граничной
линии U.
Очевидно, равноценно этому способу (и иногда более удобно)
— сместить пучок в положение у , проведя его через точки прохождения линии U/
на опорах, а затем увеличивать ординаты кривой считаемые от исходной линии у,
до соприкасания в пролете с линией U. Таким обра
зом, кривая М получается непосредственно без
последовательных приближений.
В некоторых случаях может оказаться невозможным опустить
кривую М, а следовательно, и 7 до линии U'\ например, если к загруженному
пролету примыкают два незагруженных. Часто эти незагруженные пролеты не могут
обеспечить достаточный момент защемления; тогда приходится поднять точки
кривой в положение V и VПостроения остаются такими же, причем пучок проходит
через точки VH V'.
При практическом применении граничные точки V и V'
находятся без труда; они определяются условиями, предъявляемыми к
незагруженным пролетам, в которых кривые давления (проведенные в
предположении, что усилие, производимое пучком, равно FR) должны сами
оставаться между своими граничными линиями.
Во всех случаях максимальной стрелой кривой давления М
будет стрела, считаемая от кривой 7, как исходной линии, и, следовательно,
можно написать:
максимальный статически определимый момент у равен усилию
Fп помноженному на сумму величин стрел пучка и кривой давления относительно
их хорд. (Стрела пучка положительная при вогнутой форме пучка).
Когда этот момент найден, непосредственно определяется и
соответствующая нагрузка (например, из выражения случае равномерно
распределенной нагрузки), а отсюда и коэффициент безопасности.
При расчете предельных моментов надо исходить из следующих
соображений.
Если принять теории, изложенные в главе VI, усилие F
достигает в некотором разрушающемся сечении величины XFR, где FR —
разрушающее усилие пучка, а ^ — коэффициент, меньший единицы, причем весьма
близкий к единице при малых процентных отношениях, но могущий
Предельный момент равен ^FTz, где z — плечо (расстояние от
пучка до центра сжатия) является также функцией от со.
В случае, когда балка армирована мягкой сталью, плечо z,
соответствующее пучку, слегка уменьшается и, следовательно, момент ^Frz также
слегка уменьшается, но следует добавить к этому моменту величину
соответствующего момента, воспринимаемого арматурой мягкой стали. Так,
например, сечение арматуры мягкой стали (205 мм)= 39,2 мм2\ расстояние до сжатой грани 22,5 см\ предел упругости стали 24 кг/мм2. Момент
сопротивления, вызываемый арматурой из мягкой стали: 0,9.0,225-39,2-24 = 192
кем.
Для того чтобы учесть небольшое уменьшение предельного
момента, соответствующего одному только пучку (согласно сделанному нами
расчету это уменьшение — порядка от 10 до 20 кем), мы примем, что полный
предельный момент получается путем добавления к моменту пучка дополнительной
величины, равной 180 кем. Временное сопротивление бетона составляет 500
кг/см2. Оно было определено испытанием отделанных (выровненных) кубиков,
тогда как таблицы и графики главы VI относятся к неотделанным кубикам.
Имея значения величины и, можно вычертить кривые давления.
Ниже приводятся вертикальные .проекции балок в искаженном масштабе, с
показанием расположения арматурных лучков (в уточненных отметках, полученных
после разрушения балок, см.
Балка Ах (без арматуры из мягкой стали). На VIII. 32
приведены значения величин и и и\ полученные из диаграммы VIII. 31 в функции
расстояний hi и h\ отпучка до верх-, ней и нижней граней балки.
Кривые давления представляют дуги параболы той же
кривизны, как пучок, поскольку они получаются из пучка путем смещений,
являющихся линейными функциями абсциссы. На крайних опорах они проходят через
точки анкерных закреплений.
Их стрелы по отношению к прямолинейным очертаниям очень
малы (0,4 см), поэтому в данном случае можно было бы заменить дуги парабол
прямыми линиями, не изменяя точек соприкасания с линией U. Но в общем случае
предпочтительнее начертить кривую давления точно, так как соприкасание могло
бы оказаться в другом месте, а не в середине пролета (см. главу VI, пример
пешеходного моста Фестиваль).
На VIII. 32 нанесено также положение пучка у , полученное
путем смещения вниз по вертикали действительного положения пучка на средней
опоре так, чтобы трасса у пучка прошла через граничные точки.
Стрела кривой давления относительно пучка равна 9,7 см. Статически определимый момент в пролете р =0,097-36500=3540 кгм.
Обозначим р — постоянную нагрузку и Р — приложенную
сосредоточенную нагрузку.
Из испытаний получено Р=3500 кг; расхождение составляет
4%. Балка А2 (с арматурой из мягкой стали). VIII.33, на котором приведены
значения величин Аь h'v и и и' (полученные из диаграммы VIII. 31),
показывает, что стрела линии давления относительно пучка т равна 10,43 см. В соответствии с замечанием, сделанным применительно к балке А\г действительные кривые
давления (дуги парабол) заменены на чертеже прямыми линиями.
Следует заметить, что вычерчивать положение пучка j
бесполезно; достаточно измерить возможную величину стрелы линии давления относительно
ее хорды и прибавить величину стрелы пучка относительно его хорды в пролете.
Полученная при испытаниях величина Р=5000 кг; расхождение
13%, Для данной балки С полученная из опыта величина разрушающей нагрузки
оказалась больше величины, полученной ло .расчету, .в то время как для
остальных трех балок совпадение этих величин можно считать полным. Объяснить
это можно только результатом разброса в величинах временных сопротивлений
стали и бетона и наличием возможной ошибки при определении отметок пучков.
Во всяком случае надо отметить, что, в то время как наши
испытания дают в общем результаты немного выше расчетных (особенно для балки
С), испытания, проведенные Морисом (см. главы X и XIII), приводят к обратному
выводу. Возможно, что объяснение заключается только в различии принятых
зачений временного сопротивления бетона, как будет показано в главе XIII.
Соображения о том, что величина разрушающей нагрузки не
зависит от линейных преобразований, производимых над очертанием (трассой)
арматурных пучков
В главе VII мы показали, что в упругой стадии состояние
предварительного напряжения не изменяется при таком видоизменении трасс
арматурных пучков, при котором сохраняются присущие им формы в каждом
пролете, а также сохраняются положения -крайних анкерных закреплений.
Мы высказали предположение \ что такое свойство должно
сохраняться и в стадии разрушения и что линейное преобразование давления).
Моменту равен произведению усилия Fr на сумму стрел кривой давления и
арматурного пучка, и поскольку линейные преобразования не изменяют (величину
стрелы пучка, момент р, а следовательно, и разрушающая нагрузка были бы
независимы от этих преобразований.
Ввиду того, что растягивающее усилие пучка в
действительности не достигает величины разрушающего напряжения, упомянутое
выше свойство разрушающей нагрузки существует лишь приблизительно, так как и
и и! —не постоянные величины.
Во всяком случае, расстояние между линиями U и U' мало
изменяется в зависимости от линейных преобразований. Чтобы убедиться в этом,
достаточно измерить (или вычислить) это расстояние для различных сечений
изучаемых балок. Для балки А\ расстояние UU' колеблется от 16,8 до 18 см; для белки А2 — от 17,to до 18,5 см; для В оно равно 16,8 (постоянное), для С колеблется от
16,4 до 17,6 см. Таким образом, колебания этого расстояния очень невелики
(±3% по отношению к средней величине). Этим объясняется, что испытания,
проделанные для проверки этого положения Морисом (см. главу X), действительно
его подтвердили.
Некоторые из наглядных результатов описанных выше
экспериментов показаны на приводимых фотографиях
|