|
Представим себе балку, в пролетах
которой средняя линия имеет форму кривой АВ, ВС ...DE.
Обозначим через г радиус кривизны пучка и через f радиус
кривизны средней линии балки. Значения гиг могут быть постоянными или переменными
по длине балки; г и г', как правило, имеют противоположные знаки. В тех
случаях, когда балка несет вертикальные нагрузки, направленные сверху вниз,
средняя линия является обычно выпуклой (центр кривизны находится ниже линии),
а пучок — вогнутым (центр кривизны выше пучка). От вогнутого пучка возникает
равномерно распределенная поперечная нагрузка, равная Н (направленная
вверх);
при выпуклом пучке, если бы он был практически применим,
усилие было бы направлено вниз и равно
В параграфе 3 было показано, что действие пучка
эквивалентно: сжимающей силе по хорде, которая соединяет точки прикрепления
пучка; вертикальным силам соответствующего знака (положительным— при вогнутом
пучке) и сосредоточенным силам в точках перегиба пучка на опорах. Последние не
действуют на балку и влияют только на опорные связи.
Предположим, и — эксцентрицитеты крайних точек
прикрепления пучка. Можно, не меняя состояния балки, приложить в точках А и Е
одинаковые по величине и противоположные по направлению силы ±F, действующие»
по направлению хорды, соединяющей концы средней линии.
Действие пучка, если угол его наклона мал и,
следовательно, косинус угла може!» быть приравнен к единице, будет
эквивалентно дей- ствию сжимаю^ёгв усилия F по хорде АЕ и двух моментов Fe0 и
—Fen. Если по своей аЙсолютаой величине эти моменты не равны, т. е. е0 не
равно е„, то^фница между ними уравновешивается небольшими вертикальными
реакциями в точках
В соответствии с соображениями, прйзёдённйми- в параграфе
3,
сжимающее усйлй'е вдоль хорды АЕ 1.17. Усилия в балке от
дей- среднего.^М^мржет быть заме- ствия предварительного напряжения сторон
мнбгругблшика ABCDE. Такая замена допустима, поскольку каждое изменение'
направления силы в вершине многоугольника эквивалентно Ъв'едению' по оси
опоры дополнительной вертикальной силы. Следовательно, действие
полигонального силового многоугольника на балку будет такое же, как и силы по
линии АЕ.
Таким образом, изучение влияния на балку предварительного
напряжения сводится к изучению влияния: моментов от прикрепления пучка,
распределенного усилия — и сжимающего усилия, направленного по хорде среднего
волокна в каждом пролете.
Само усилие, действующее по хорде среднего волокна,
эквивалентно постоянной сжимающей силе F, приложенной в центре тяжести
сечения балки и направленной по касательной к ее средней линии и к поперечной
F нагрузке —, зависящей в каждом сечении от кривизны балки.
В самом деле, не меняя состояния балки, можно к -каждой
точке средней линии приложить одинаковые по величине и обратные по знаку распределенные
усилия —. Равнодействующая усилий —и сжимающей силы F вдоль хорды совпадет со
средней линией, которая представляет собой веревочную кривую сил —.
Направленные вверх усилия —сохраняются— они вызывают .изгиб балки. Изгибающий
момент рассчитывается с учетом связей всей рассматриваемой статически
неопределимой системы.
Само собой разумеется, что сжимающее усилие вдоль средней
линии не в точности равно F; оно равняется, где а — угол наклона средней
линии к ее хорде, но обычно этот угол мал и его косинус может быть приравнен
к единице.
Очевидно, что в случае введения дополнительных пучков
следует
также учитывать моменты промежуточных креплений и
принимать усилие предварительного напряжения равным Fx+F2, т. е. с учетом
влияния дополнительных пучков.
Самоуравновешенные реакции и создаваемые ими моменты М
возникают от действия моментов прикрепления пучка и от влияния кривизны F F 1——в
соответствии с условиями связей данной конкретной балки. Именно моменты М
вызывают -смещение центров давления; учитывая это условие, можно построить
новую кривую давления. Постоянная кривая давления имеет в каждом пролете
форму соответствующего участка пучка (форма средней линии балки в приведенных
доказательствах не фигурировала.).
Из всего этого видно, что когда закономерность изменения
момента инерции J балки известна, — а ее необходимо знать для того, чтобы
рассчитать реакции и моменты в балке, — то действие предварительного
напряжения зависит только от эксцентрицитета внешних точек прикрепления пучка
и от «общей кривизны»—+ —(с учетом знаков). Следовательно, мы получим
одинаковое действие усилия предварительного напряжения как в прямолинейной
балке с криволинейным пучком (или с серией пучков, выведенных из одной
исходной трассы методом линейных преобразований), так и в криволинейной балке
с прямолинейным пучком, если только кривизна пучка в первом случае равна
-кривизне балки во втором и при этом эксцентрицитет прикрепления пучка
соответствует закону изменения момента инерции.
Однако в общем случае момент инерции меняется. В балке с
небольшой кривизной он больше у опор, чем в середине пролета. Отсюда, как
правило, следует, что балка с криволинейной средней линией выгоднее
прямолинейной балки и, кроме того, что в ней легче осуществляется
предварительное напряжение.
Средняя линия может, конечно, быть с переломами. Так
получается в балке с вутами. В этом случае распределенное усилие — заменяется
сосредоточенным, которое приложено в точке изменения направления средней
линии.
Если т — угол изменения направления средней линии, то
сосредоточенное усилие в этой точке будет равно Fsin?. Две сосредоточенные
силы, приложенные на расстоянии !/4 пролета от его концов, создают в
статически определимой балке такой же момент, как и распределенная нагрузка,
имеющая такую же равнодействующую, как сосредоточенные силы. Казалось бы, что
это способствует применению балок с вутами на крайних четвертях пролета.
Однако в статически неопределимых балках опорных моменты при этом стали бы
больше, чем моменты от постоянной равномерной нагрузки; это приводит к не
обходимости удлинить вуты. Обычно целесообразно предусматривать вуты длиной
порядка 7в пролета.
К тем же результатам можно прийти и аналитическим путем,
указанным в примечании 1 к параграфу 3. Предположим, что ABCDE — средняя
линия балки, a A\B\C\DiE\ — пучок. Во избежание ошибок в знаках располагаем
линии, как на 1.19.
Согласно предыдущим соображениям, эксцентрицитет в крайних
точках пучка может быть сведен к нулю путем приложения моментов Fea и —Fee.
Если моменты взаимно не уравновешиваются, то в точках А и Е для равновесия
добавляются вертикальные реакции; эти реакции не вызывают в балке никаких
изгибающих усилий.
Таким образом, предварительное напряжение будет
осуществлено при помощи натяжения пучка А\В\... Еи смещенного в целом так,
что точка А\ перешла в положение Л, точка Е\ — в положение Е (трассой пучка
стала линия АВ\С\... £), и добавления моментов Fea и Fee на концах
балки.
Выше (параграф 3, примечание 1) было доказано
аналитически, что, не меняя усилия предварительного напряжения, можно произвольно
переместить в этом пучке по вертикалям точки его пересечения с линиями
промежуточных опор. Поэтому, в частности, точки BXC\DX могут быть совмещены с
точками BCD средней линии.
Обозначим через у и z ординаты пучка и средней линии
относительно их хорд. При произведенном преобразовании у не изменилось.
Следовательно, момент предварительного напряжения, созданный пучком АВ{С\ ..
при условии превращения пролетов в статически определимые, был бы |равен
F(y—z). Это такой же момент, как и от нагрузки F{y"—z") в
независимом пролете, поскольку на концах пролета он равен нулю (условие,
необходимое для того, чтобы эти моменты были идентичны).
|