::

 

Вся электронная библиотека >>>

 Альберт Эйнштейн >>

  

Наука и культура

эйнштейнАльберт Эйнштейн


Разделы:  Рефераты по истории и культуре

Биографии известных людей

 

Математика и реальность 

 

Все, что мы знаем о реальности, исходит из опыта и завершается им.

Эйнштейн

 

Геометрия сохраняет характер математической науки, так как вывод ее теорем из аксиом останется по-прежнему чисто логической задачей; но в то же время она становится и физической наукой, так как ее аксиомы содержат утверждения, относящиеся к объектам природы, утверждения, справедливость которых может быть доказана только опытом.

Эйнштейн

 

Одной из самых важных эпистемологических предпосылок пут, приведшего Эйнштейна к теории относительности, было его представление о соотношении между математикой и реальностью. Это представление было сформулировано после появления теории относительности, по оно существовало и раньше и было условием появления специальной и особенно общей теории относительности.

 

В цюрихском Политехникуме Эйнштейн усердно посещал физическую лабораторию. Это увлечение экспериментом очень характерно для юности Эйнштейна и было одним из путей к кристаллизации идей относительности. Вопрос не сводится к ознакомлению с экспериментами, ставшими впоследствии исходным пунктом теории относительности. Экспериментальные увлечения Эйнштейна указывают и па другую сторону дела, тесно связанную с характером его физического и математического мышления.

 

Речь идет о физической интуиции, предваряющей логические и математические конструкции. Следует расшифровать здесь несколько неопределенное понятие интуиции, которое без расшифровки может ассоциироваться с совсем иным кругом идей. Мы можем судить о механизме научного мышления Эйнштейна, помимо прочего, по одному документу, очень важному для истории и психологии научного творчества в целом и для характеристики психологии творчества Эйнштейна в особенности. В 1945 г. Жак Адамар обратился к ряду математиков с вопросом, какими образами и ассоциациями заполнено их сознание при поисках математических решений. Эйнштейн ответил на этот вопрос следующими замечаниями:

"Слова, так как они пишутся или произносятся, по видимому, не играют какой-либо роли в моем механизме мышления. В качестве элементов мышления выступают более или менее ясные образы и знаки физических реальностей. Эти образы и знаки как бы произвольно порождаются и комбинируются сознанием. Существует, естественно, некоторая связь между этими элементами мышления и соответствующими логическими понятиями. Стремление в конечном счете прийти к ряду логически связанных одно с другим понятий служит эмоциональным базисом достаточно неопределенной игры с упомянутыми выше элементами мышления. Психологически эта комбинационная игра является существенной стороной продуктивного мышления. Ее значение основано прежде всего на некоторой связи между комбинируемыми образами и логическими конструкциями, которые можно представить с помощью слов или символов и таким образом получить возможность сообщить их другим людям"

 

Но логические конструкции, которые можно выразить словами и математическими символами, - это вторая ступень. Первоначально в сознании нет ничего, кроме возникающих и ассоциирующихся образов физических реальностей. Эти образы приближаются к зрительным и моторным представлениям.

 

"У меня упомянутые выше элементы мышления - зрительного и некоторого мышечного типа. Слова и другие символы я старательно ищу и нахожу на второй ступени, когда описанная игра ассоциаций уже установилась и может быть по желанию воспроизведена. Как уже сказано, игра с первоначальными элементами мышления нацелена на достижение соответствия с логической связью понятий"

 

Зрительные и мышечные элементы, вступающие в ассоциативную игру, по-видимому, были ближе всего к кинетическим и динамическим представлениям. Неопределенный зрительный образ движущегося или меняющего свою форму тела и неопределенное мышечное ощущение действующей силы - таков был, как можно думать, тип исходных элементов, которые мыслитель вызывал в своем сознании, чтобы начать ассоциативную игру. В последней комбинировались, сближались и противопоставлялись образы, иногда близкие физическим реальностям, а иногда игравшие роль условных символов, соответствующих более сложным, в том числе немеханическим, реальностям. Это были образы волнующегося моря, символизирующего, а отчасти описывающего недоступные непосредственному зрительному представлению электромагнитные колебания, образы движущихся градуированных стержней, изображающих системы отсчета, и т.д.

 

На второй ступени - уже не интуитивной, а логической - мыслитель как бы слышит слова, выражающие понятия, или видит написанными эти слова либо математические символы. У Эйнштейна зрительные и моторные образы первоначальной ассоциативной стадии сменялись слуховыми представлениями слов, передающих логические конструкции. На вопрос Адамара о господствующем типе "внутренних слов" Эйнштейн отвечал:

 

"Зрительные и моторные. На той ступени, когда полностью вступают слова, они в моем случае чисто слуховые. Но они, как уже сказано, включаются только на второй ступени"

 

Описанный механизм мышления был, по-видимому, в наибольшей степени приспособлен для конструирования логических цепей, допускающих экспериментальную проверку.

 

Для Эйнштейна понятия не связаны непосредственно с наблюдениями и могут не обладать непосредственным физическим смыслом. Физический смысл они подчас приобретают в результате сложного и многоступенчатого конструирования других понятий. Но в конце концов логические выводы становятся сопоставимыми с наблюдениями и это придает физический смысл всей цепи рассуждений. Как уже говорилось, логика сочетается при таком конструировании с интуицией. Последняя как бы предвосхищает на каждом этапе физические выводы конструируемой теории. Каждый раз, когда логический анализ оказывается на распутье, физическая интуиция толкает его к таким дальнейшим шагам, которые делают более близкой экспериментальную проверку. Подобно свету, отражающемуся в сложных системах зеркал так, что путь его требует наименьшего времени, мысль Эйнштейна движется от одного понятия к другому по линии кратчайшего подхода к экспериментальной проверке всей цепи рассуждений, к понятиям, которые допускают такую проверку. При этом Эйнштейн руководствуется физической интуицией. Ее можно было бы назвать "экспериментальной интуицией", имея в виду догадку о наиболее близком пути к эксперименту, позволяющему теории обрести физическую содержательность. Интуицию питало то обстоятельство, что Эйнштейн чувствовал себя в своей стихии в мире понятий и образов экспериментальной физики. Зеркала, отражающие свет, контуры, по которым пробегает ток, жесткие стержни, соединяющие движущиеся части приборов, - все эти образы и понятия обрастали у Эйнштейна множеством зрительных и моторных ассоциаций, были живыми, подвижными, готовыми к новым сочетаниям.

 

Гений Эйнштейна выражался в способности связывать, сочетать, иногда отождествлять понятия, далеко отстоящие одно от другого. В мозгу мыслителя каждое понятие (на предшествующей стадии - образ) окружено облаком виртуальных связей или полем сил, которые захватывают другие понятия, иногда реконструируют их, связывают с данным понятием, вызывают порождения новых понятий и аннигиляцию некоторых старых. Колоссальная мощность такого облака, напряженность такого поля, радиус действия таких сил - признаки гения.

 

В конце концов экспериментальная интуиция Эйнштейна стала математической интуицией. Мы встречаемся в его работах с поразительно изящными (т.е. приводящими к большому числу выводов без дополнительных допущений) и мощными приемами. В основе выбора этих математических приемов лежит, как мы увидим, выявление закономерностей, допускающих экспериментальную проверку. Но это появилось позже, когда физическая интуиция уже привела Эйнштейна к новому по сравнению с классической физикой разделению понятий на формальные и физически содержательные, допускающие в принципе сопоставление с наблюдениями. До этого, в Цюрихе, у Эйнштейна не было критериев для выбора той или иной математической дисциплины или проблемы.

 

"Я видел, - пишет Эйнштейн, - что математика делится на множество специальных областей, и каждая из них может занять всю отпущенную нам короткую жизнь. И я увидел себя в положении Буриданова осла, который не может решить, какую же ему взять охапку сена. Дело было, очевидно, в том, что моя интуиция в области математики была недостаточно сильна, чтобы уверенно отличить основное и важное от остальной учености, без которой еще можно обойтись. Кроме того, и интерес к исследованию природы, несомненно, был сильнее; мне, как студенту, не было еще ясно, что доступ к более глубоким принципиальным проблемам в физике требует тончайших математических методов. Это стало выясняться лишь постепенно, после многих лет самостоятельной научной работы. Конечно, и физика была разделена на специальные области, и каждая из них могла поглотить короткую трудовую жизнь, так и не удовлетворив жажды более глубокого познания. Огромное количество недостаточно увязанных эмпирических фактов действовало и здесь подавляюще. Но здесь я скоро научился выискивать то, что может повести в глубину, и отбрасывать все остальное, все то, что перегружает ум и отвлекает от существенного"

 

Существенным, с точки зрения Эйнштейна, было то, что может послужить материалом или орудием для построения адекватной картины реального мира. В математике подобного критерия у него еще не было. Но уже было неясное, но глубокое представление о том, что в стройной системе геометрических теорем выражается упорядоченность мироздания. Первоначально это представление было элементарным: Эйнштейн думал, что геометрические объекты - псевдонимы реальных тел, что они по своей природе не отличаются от последних. Эйнштейну показалась удивительной ("чудом") возможность чисто логического получения достоверных сведений о наблюдаемых предметах. Позже он понял, что такая возможность исключена.

 

"Хотя это выглядело так, будто путем чистого размышления можно получить достоверные сведения о наблюдаемых предметах, но такое "чудо" было основано на ошибках. Все же тому, кто испытывает это "чудо" в первый раз, кажется удивительным самый факт, что человек способен достигнуть такой степени надежности и чистоты в отвлеченном мышлении, какую нам впервые показали греки в геометрии"

Ошибка состояла в следующем. Эйнштейну показалось, что ряд геометрических теорем не требует доказательства, поскольку эти теоремы сводятся к очевидным положениям. Из этих очевидных положений можно вывести другие, уже не очевидные и таким образом получить достоверные сведения о реальных телах без каких-либо наблюдений, чисто логически. Но "очевидность" теорем была основана на том, что фигурирующим в них понятиям приписываются те же связи, которые наблюдаются в природе между реальными телами. Если длина отрезка - это твердый стержень, то все геометрические утверждения, относящиеся к длине отрезка, будут очевидными - пока им соответствуют физические свойства стержня. Мы считаем длину отрезка неизменной при его переносе и склонны рассматривать это утверждение как очевидное, потому что бессознательно сопоставляем геометрические понятия с их физическими прообразами. Но у геометрического понятия может появиться новый физический прообраз. Так и получилось, когда Эйнштейн пришел к теории относительности.

 

Мы уже знаем, что, согласно Эйнштейну, развитие науки - это не только бегство от "чуда", но и бегство от "очевидности". Наука лишает геометрические построения "очевидности", когда эксперимент обнаруживает неточность наблюдений, придававших геометрическим построениям, казалось, непоколебимую физическую содержательность. Это бегство от очевидности. Но наука каждый раз устанавливает соответствие между новыми наблюдениями и цепями логических конструкций. Первые при этом перестают быть чудом, а вторые обретают физический смысл, который нельзя обрести чисто логическим путем.

 

Соотношение между геометрией и реальностью представляет собой одну из сторон соотношения между логическими и эмпирическими элементами науки. Такому соотношению посвящены многочисленные эпистемологические выступления Эйнштейна. Они очень тесно связаны с собственно физическими работами. Иногда построения, относящиеся к науке в целом, кажутся лишь несколько обобщенным изложением теории относительности. Иногда физические работы кажутся примерами эпистемологических схем. Представление о стихийном творчестве без сознательных и продуманных гносеологических позиций падает так же быстро, как и представление об априорном характере общих концепций Эйнштейна, при первом же столкновении с действительной структурой его научного наследства.

 

Остановимся на лекции Эйнштейна "О методе теоретической физики"

 

Она начинается несколько неожиданным предупреждением: о методе, которым пользуются физики, следует судить не по их заявлениям, а по плодам их работы. "Тому, кто в этой области что-то открывает, плоды его воображения кажутся столь необходимыми и естественными, что он считает их не мысленными образами, а заданной реальностью. И ему хотелось бы, чтобы и другие считали их таковыми".

 

Тем не менее Эйнштейн хочет изложить не результаты исследований, а метод, которым с большей или меньшей осознанностью пользуются творцы физических теорий. Задача состоит в сопоставлении теоретических основ науки и данных опыта. "Дело идет о вечной противоположности двух неразделимых элементов нашей области знания: эмпирии и рассуждения".

 

Классическим образцом чисто рациональной науки, уловившей реальные соотношения, остается античная философия. Это великое торжество разума, которое никогда не потеряет своего ореола.

"Мы почитаем древнюю Грецию как колыбель западной науки. Там впервые было создано чудо мысли - логическая система, теоремы которой вытекали друг из друга с такой точностью, что каждое из доказанных ею предложений было абсолютно несомненным: я говорю о геометрии Евклида. Этот замечательный триумф мышления придал человеческому интеллекту уверенность в себе, необходимую для последующей деятельности. Если труд Евклида не смог зажечь ваш юношеский энтузиазм, то вы не рождены быть теоретиком".

 

Вслед за апофеозом логики у Эйнштейна идет апофеоз эмпирии: "Все, что мы знаем о реальности, исходит из опыта и завершается им". Эта формула - эпиграф настоящей главы - ни в малейшей степени не ограничена замечаниями Эйнштейна о мысли, свободно создающей логические конструкции. Как же сочетается царство эмпирии с царством созидающего разума? "Если опыт - альфа и омега нашего знания, какова тогда роль разума в науке?" - спрашивает Эйнштейн.

 

Физика, по словам Эйнштейна, должна включать исходные понятия, далее - законы, в которых фигурируют понятия, и, наконец, вытекающие из указанных законов утверждения. Такие утверждения должны соответствовать опыту.

 

Здесь справедливо точно то же, что и в геометрии Евклида, но там фундаментальные законы называются аксиомами и не возникает требования, чтобы выводы соответствовали какому-либо опыту. Если, однако, евклидову геометрию рассматривают как науку о возможности взаимного расположения реальных твердых тел, т.е. если ее трактуют как физическую науку, не абстрагируясь от ее первоначального эмпирического содержания, то логическое сходство геометрии и теоретической физики становится полным.

 

С подобной точки зрения - она последовательно и систематически проводилась в физике и в геометрии, начиная с теории относительности Эйнштейна, - геометрия свободно, без оглядки на эксперимент конструирует сложную систему логически безупречных выводов. Но эмпирия - и только она одна - придает этим конструкциям физический смысл. Именно так следует понимать слова Эйнштейна о творческой, конструктивной функции математических понятий и методов в физике и об их способности приблизиться к реальности.

 

"Опыт остается, конечно, единственным критерием возможности применения математических конструкций в физике, но именно в математике содержится действительно творческий принцип. С подобной точки зрения я считаю правильным убеждение древних: чистая мысль способна постичь реальное".

 

Те же мысли, но в несколько ином аспекте Эйнштейн изложил в статье "Проблема пространства, эфира и поля в физике"

 

Указанная статья позволяет еще точнее представить взгляды Эйнштейна на соотношение математических и экспериментальных корней физической теории. Эйнштейн сопоставляет, с одной стороны, логический анализ с его высокой достоверностью и полной неспособностью сообщить своим конструкциям физический смысл и, с другой стороны, эмпирические источники знания.

 

Эйнштейн иллюстрирует соотношение этих составляющих науки следующим примером:

 

"Некий археолог, принадлежащий цивилизации будущих веков, находит курс евклидовой геометрии без чертежей. Он сможет разобраться в том, как применяются слова: точка, прямая, плоскость в различных теоремах; он поймет, как из одной теоремы выводится другая, и даже сможет сам найти по усвоенным правилам новую теорему. Но теоремы останутся для него игрой слов, ему недоступна операция, которую можно выразить словами "представить себе нечто", применительно к терминам: точка, прямая, плоскость и т.д..."

 

Что значит "представить себе нечто", когда речь идет о точке, прямой, плоскости? Эйнштейн разъясняет, что подобное представление означает возможность опыта и наблюдения. Археолог, нашедший курс евклидовой геометрии, должен произвести опыты в надежде, что некоторые наблюдения будут соответствовать прочитанным в книге и пока еще бессодержательным словам.

 

В 1926 г. Эйнштейн изложил общую концепцию связи между геометрией и физикой в статье "Неевклидова геометрия и физика" [8]. Здесь схема генезиса новой геометрии и теории относительности обобщена в историческом плане. Наука в своем филогенетическом развитии прошла тот же цикл, что и Эйнштейн в своем индивидуальном развитии. Эйнштейн, разумеется, лишь ретроспективно, после создания теории относительности, мог четко сформулировать общую концепцию логических конструкций и наблюдаемых в природе соотношений. Ретроспективно он мог сформулировать и историческую концепцию перехода от первоначального отождествления геометрических и физических понятий к последующему их разграничению и, наконец, к синтезу. Но нельзя думать, что Эйнштейн просто проецировал в прошлое путь, приведший его к теории относительности. Схема, которую Эйнштейн видел в процессе познания в целом, не была ретроспективно навязана истории науки, она действительно вытекает из исторической картины математики и физики. Знакомство с математическими и физическими идеями в их историческом развитии подготовляло в сознании Эйнштейна генезис той схемы "бегства от чуда" и "бегства от очевидности", которая получила свое отчетливое выражение в связи с теорией относительности.

 

Эйнштейн говорит, что в древности геометрия была полуэмпирической наукой, рассматривавшей, например, точку как реальное тело, размеры которого можно игнорировать. "Прямая определялась или с помощью точек, которые можно оптически совместить в направлении взгляда, или же с помощью натянутой нити. Мы имеем, таким образом, дело с понятиями, которые, как это и вообще имеет место с понятиями, не взяты непосредственно из опыта или, другими словами, не обусловлены логически опытом, но все же находятся в прямом соотношении с объектами наших переживаний. Предложения относительно точек, прямых, равенства отрезков и углов были при таком состоянии знания в то же время и предложениями относительно известных переживаний, связанных с предметами природы".

 

В этой характеристике античного представления о геометрии и реальности Эйнштейн повторяет свою общую эпистемологическую концепцию: понятия не выводятся логически из опыта, но тем не менее всегда сохраняют связь с опытом. Вскоре он снова вернется к этой концепции, применительно к общей характеристике пути, ведущего к геометрическим понятиям от их физических прообразов.

 

Античная геометрия - физическая или полуфизическая наука - эволюционировала, освобождаясь от эмпирических корней. Постепенно выяснилось, что большое число геометрических положений можно вывести из аксиом. Тем самым геометрия стала собственно математической наукой. "Стремление извлечь всю геометрию из смутной сферы эмпирического привело незаметным образом к ошибочному заключению, которое можно уподобить превращению чтимых героев древности в богов", - говорит Эйнштейн. Теперь под "очевидным" стали понимать то, что присуще человеческому разуму и не может быть отринуто без появления логических противоречий. Как же могут быть применены эти логически непротиворечивые, присущие человеческому духу и поэтому "очевидные" аксиомы, в частности геометрические аксиомы, к познанию действительности? И тут, продолжает Эйнштейн, на сцену выходит кантовское учение о пространстве как априорной форме познания.

 

Эйнштейн не только отвергал кантовский априоризм, но вместе с тем указывал реальные проблемы науки и действительные противоречия, из которых при неправомерном абсолютизировании отдельных сторон, отрезков, витков познания вырастали метафизические заблуждения, в данном случае - мысль об априорной природе пространства. Иллюзия априорности создавалась аксиоматизацией геометрии. Второй источник отрыва геометрических понятий от их прообразов находился в самой физике.

 

"Согласно ставшему гораздо более тонким взгляду физики на природу твердых тел и света, в природе не существует таких объектов, которые бы по своим свойствам точно соответствовали основным понятиям евклидовой геометрии. Твердое тело не может считаться абсолютно неизменяемым, а луч света точно не воспроизводит ни прямую линию, ни даже вообще какой-либо образ одного измерения. По воззрению современной науки, геометрия, отдельно взятая, не соответствует, строго говоря, вообще никаким опытам, она должна быть приложена к объяснению их совместно с механикой, оптикой и т. п. Сверх того, геометрия должна предшествовать физике, поскольку законы последней не могут быть выражены без помощи геометрии. Поэтому геометрия и должна казаться наукой, логически предшествующей всякому опыту и всякой опытной науке".

 

Объясняя такую аберрацию научной мысли, Эйнштейн снова ссылается на свой исходный тезис: понятия сами по себе, логически не следуют из опыта. Этот тезис был обычным выводом из историко-научных экскурсов Эйнштейна.

 

В одном из писем Соловину Эйнштейн высказал этот тезис чрезвычайно прозрачным образом и при этом пошел далеко вперед по сравнению со всеми предыдущими формулировками "Строго говоря, - пишет Эйнштейн, - нельзя сводить геометрию к "твердым" телам, которые ведь не существуют. Твердые тола нельзя считать бесконечно делимыми. Это нужно учитывать".

 

Здесь Эйнштейн констатирует, что тела, состоящие из атомов, не могут быть точным прообразом геометрических фигур: вершины их углов не совпадают с точками, грани - с плоскостями и т.д., а с позиций волновой теории света луч по может быть прообразом прямой. Отсюда уже вытекает соблазн считать геометрические понятия условными или априорными, независимыми от результатов физического эксперимента и поэтому незыблемыми. Но Эйнштейн прибавляет еще одно соображение. Оно относится к измерению пространственных расстояний и, в частности, к определению положений тел. Мы пользуемся для этого линейками и совмещаем материальные точки, расстояние между которыми требуется определить, с другими точками, расстояние между которыми уже определено. Но если это материальные точки, то нельзя абсолютно игнорировать воздействие линейки на измеряемое тело. Подобное обстоятельство, как можно думать, имел в виду Эйнштейн в строках, которые следуют за приведенными:

 

"Аналогичным образом нельзя утверждать, что тела, с помощью которых мы измеряем предметы, не воздействуют на эти предметы. Подобное утверждение не является строгим и само по себе не оправданно".

 

Это замечание придется потом вспомнить в связи с эйнштейновской позицией в отношении квантовой механики. За ним следует вывод: "Поистине никогда и ни при каких условиях понятия не могут быть логическими производными ощущений. Но дидактические и эвристические цели делают такое представление неизбежным. Мораль: если вовсе не грешить против разума, нельзя вообще ни к чему прийти. Иначе говоря, нельзя построить дом или мост, если не пользоваться строительными лесами, которые, конечно, не являются частью сооружения".

 

Вывод, несколько неожиданный для последователя великих рационалистов XVII-XVIII вв. Они были твердо убеждены: грешить против разума - значит грешить против истины. Все дело в том, что Эйнштейн был не столько последователем, сколько преемником Декарта и Спинозы. Он знал этих мыслителей, но он также знал Гёте с его "теория, друг мой, сера, но зелено вечное дерево жизни". Эйнштейн знал, что непосредственные впечатления бытия преображаются в абстрактные понятия теории сложным путем, включающим игнорирование некоторых сторон реальности. Высшее выражение "безгрешного" рационализма - всеведущее существо Лапласа, знающее положения и скорости всех частиц Вселенной, для рационалистов XVII в. было будущим их концепции, а для рационалистов XIX-XX вв.- прошлым.

 

Как бы то ни было, в XIX в. с его установившимися атомистическими представлениями о веществе и волновыми представлениями о свете природа уже не была прикладной геометрией. Отсюда сделали вывод, что геометрия - это не абстрактно выраженная природа, и дошли до априорности геометрии либо до ее условности.

 

Болезни роста излечиваются дальнейшим ростом. Иллюзии априорности и условности геометрии исчезли с дальнейшим развитием аксиоматизации и с дальнейшим развитием представлений о физических прообразах геометрии.

 

Прежде всего в геометрии выросли большие, разветвленные системы, которые отличались некоторыми исходными допущениями. Появление различных по исходным постулатам геометрических систем подорвало корни представления об априорной геометрии и априорном понятии пространства. Был поставлен вопрос: какова геометрия действительного мира? Имеет ли этот вопрос смысл? Эйнштейн рассматривает, во-первых, ответ Гельмгольца: понятиям геометрии соответствуют реальные объекты, и геометрические утверждения представляют собой в последнем счете утверждения о реальных телах.

 

Другая точка зрения высказана Пуанкаре: содержание геометрии условно. Эйнштейн присоединяется к ответу Гельмгольца и говорит, что без такой точки зрения практически было бы невозможно подойти к теории относительности.

 

Как мы увидим позже, теория относительности представляет собой попытку ответить на вопрос, какая геометрия соответствует объективной действительности, описывает действительность наиболее точным образом. Тем самым геометрия теряет характерное для логики и математики в целом безразличие к физической природе своих объектов и к физической истинности своих суждений. "Чистая математика, - писал Бертран Рассел, - целиком состоит из утверждений типа: если некоторое предложение справедливо в отношении данного объекта, то в отношении его справедливо некоторое другое предложение. Существенно здесь, во-первых, игнорирование вопроса, справедливо ли первое предложение, и, во-вторых, игнорирование природы объекта... Математика может быть определена как наука, в которой мы никогда не знаем, о чем говорим, и никогда не знаем, верно ли то, что мы говорим". Это игнорирование онтологической стороны дела теперь становится уже условным. Существуют различные пути для вывода второго предложения из первого, выбор пути зависит от содержания первого предложения и от природы объекта, к которому оно относится. Математика - в данном случае геометрия - обретает онтологическую, физическую содержательность. Для Эйнштейна это значит, что содержание математических суждений должно в принципе допускать экспериментальную проверку.

 

Мы видим, что концепция Эйнштейна направлена как против априоризма и против представления о чисто условных математических истинах, так и против примитивной идеи тождества геометрических соотношений с "очевидными" и непреложными физическими соотношениями. Логические конструкции пе дают априорных результатов при познании природы, они нуждаются в сопоставлении с экспериментом и в соответствии с ним обретают физическую содержательность. Априорной очевидности не существует. Но и эмпирическая очевидность - иллюзия. Геометрические понятия получают все новое и новое физическое содержание и при этом сами меняются. Все это характеризует путь, которым шел Эйнштейн при создании и развитии теории относительности. Но вместе с тем сказанное характеризует эффект математической и физической подготовки Эйнштейна в юности. Все стало на свое место позже, после построения теории относительности, но строительные материалы заготовлялись раньше.

 

Чтобы охарактеризовать эти материалы, нужно указать, в каком виде они вошли в постройку, какие математические сведения оказались необходимыми Эйнштейну впоследствии. Повторим несколько систематичнее пояснения математических понятий, уже мелькавших раньше.

 

Вся совокупность теорем наиболее простой и элементарной геометрии, которую изучают в средней школе, основана па неизменной длине отрезка, переносимого с места на место и измеряемого в различных положениях. На этом следует остановиться, так как понятие неизменной длины отрезка подводит к понятиям, которые впоследствии понадобятся для изложения основ теории относительности.

 

Длина отрезка прямой - это расстояние между его концами. Мы определяем положение каждой точки через расстояния между нею и другими точками, а расстояния - через положения точек. Положение точки - относительное понятие, оно может быть определенным, если указано, по отношению к каким другим точкам, линиям и поверхностям оно определено. Даже такие, не связанные с количественным измерением определения положения, как "сверху", "снизу", "справа", "впереди", тоже требуют указания на другие точки, линии и поверхности, по отношению к которым данная точка находится "снизу", "впереди" и т.д. Декарт нашел способ, с помощью которого можно количественно определить положение точки в пространстве. Если это пространство - плоскость, то нужно провести через некоторую точку на плоскости - начало отсчета - две взаимно перпендикулярные прямые, затем опустить на эти прямые (они называются осями координат) перпендикуляры из данной точки. Длины этих перпендикуляров - координаты данной точки - определяют ее положение на плоскости. Пространство, в котором положение точки определяется двумя координатами, называется двумерным. Оно не обязательно должно быть плоским и может быть кривой поверхностью, например поверхностью сферы. Такова поверхность Земли, положение на этой поверхности определяется расстоянием от полюса (или от экватора) и от меридиана, принятого за начальный. Здесь в такой координатной системе (системе отсчета) осями служат уже не прямые, а кривые линии.

 

Чтобы определить положение точки с помощью декартовых координат в трехмерном пространстве, понадобится система, состоящая из трех взаимно перпендикулярных плоскостей. Положение точки определяется тремя координатами - длинами опущенных на эти плоскости перпендикуляров.

 

Мы можем заменить данную декартову систему координат иной декартовой системой, выбрав новое начало координат или проведя в ином направлении взаимно перпендикулярные оси. Такая замена называется преобразованием координат. Она меняет значения координат, но не меняет длины отрезка. Если нам известны координаты одного конца отрезка и координаты другого конца отрезка, мы можем вычислить его длину. Перейдя к иной системе отсчета, получив новые значения координат концов отрезка и вычислив вновь его длину, мы получим ту же самую величину, что и при измерении положения концов отрезка в старой координатной системе. Длина отрезка принадлежит к числу величин, которые не меняются при преобразовании координат и называются инвариантами таких преобразований.

 

Когда знакомишься с этими геометрическими понятиями, воображение рисует их физические прообразы. Отрезок представляется нам, например, штангой - двумя металлическими шарами, которые сохраняют между собой одно и то же расстояние - они образуют жесткую механическую систему. Координатные оси на плоскости представляются двумя перпендикулярными прямыми, начерченными на столе, на полу или на земле. Под понятие трехмерной системы отсчета мы подставляем конкретный образ трех бесконечно простирающихся плоскостей - что-то вроде бесконечного пола и двух бесконечных перпендикулярных стенок, прикрепленных к кораблю, на котором мы путешествуем, или к Земле, Солнцу, Сириусу и т.д. Нам кажется, что длина штанги (или размеры и форма другой, более сложной материальной системы) не меняется при измерении координат ее точек в системе корабля, в системе Земли и т.д., т.е. что мы можем взять любую начальную точку отсчета, чтобы описать геометрические свойства реальных тел. Такую равноправность всех точек при выборе начала координат мы называем однородностью окружающего нас пространства. Мы можем теперь сказать, что Коперник, лишивший систему координат, связанную с Землей, ее привилегированного характера, показал однородность мирового пространства. Но при этом мы уже, по существу, утверждаем, что при переходе к иной системе координат (Коперник прикрепил ее к Солнцу) не меняются не только форма и размеры тел, но и их поведение.

 

Соответственно мы приходим к представлению о равноправности направлений в окружающем нас пространстве - такая равноправность называется изотропностью. Когда древнегреческие мыслители отказались от мысли о падении антиподов с Земли "вниз", т.е. о привилегированном направлении, они, по существу, открыли, что в системе отсчета, где одна из осей направлена "вверх", и в системе отсчета, где эта ось направлена "вниз", не меняются величины, характеризующие не только форму и размеры, но и поведение тел.

 

Вернемся к геометрическим инвариантам. Как было уже сказано, геометрия, которую проходят в средней школе, основана на допущении: длина отрезка не меняется при его переносе. Эта длина вычисляется с помощью некоторой формулы по заданным координатам концов отрезка. Координаты, как уже говорилось, меняются в зависимости от выбора системы отсчета, но длина отрезка остается неизменной. Она служит инвариантом координатных преобразований. Мы можем представить себе иную формулу, связывающую длину отрезка с координатами его концов. Мы можем изменить и другие основные допущения геометрии и при этом не приходим к противоречиям. Такая возможность избирать различные исходные допущения и не приходить при этом к противоречиям нанесла сильный удар идее априорного пространства.

 

Кант считал априорными, присущими сознанию, независимыми от опыта соотношения геометрии Евклида. В III в. до н. э. Евклид вывел всю совокупность теорем геометрии из нескольких независимых одна от другой аксиом. Среди последних находился так называемый постулат параллельных, эквивалентный утверждению, что из точки, взятой вне прямой, можно провести только одпу прямую, не пересекающуюся с данной. Из этого постулата выводится равенство суммы углов треугольника двум прямым углам, параллельность перпендикуляров к одной и той же прямой и ряд других теорем. Из него выводится, в частности, формула, позволяющая найти длину отрезка, если заданы координаты его концов.

 

В 1826 г. Н. И. Лобачевский доказал, что может существовать иная, неевклидова геометрия, отказывающаяся от постулата параллельных. В геометрии Лобачевского через точку, взятую вне прямой, можно провести бесчисленное множество прямых, не пересекающихся с данной. Сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского меньше двух прямых углов, перпендикуляры к прямой расходятся. Длина отрезка определяется в ней по координатам концов иначе, чем в геометрии Евклида.

 

Тридцать лет спустя Бернгард Риман заменил евклидов постулат параллельных утверждением, что через точку, взятую вне прямой, нельзя провести ни одной прямой, не пересекающей данную прямую. Иначе говоря, в геометрии Римана параллельных прямых нет. В геометрии Римана сумма углов треугольника нe равна двум прямым углам, как в геометрии Евклида, и не меньше их, как в геометрии Лобачевского, а больше двух прямых углов. Перпендикуляры к прямой не параллельны и не расходятся; в геометрии Римана они сходятся. Длина отрезка определяется по координатам его концов иначе, чем в геометрии Евклида, и иначе, чем в геометрии Лобачевского.

 

Эти парадоксальные утверждения геометрии Лобачевского и геометрии Римана приобретают простой и наглядный смысл, если мы нарисуем геометрические фигуры не на плоскости, а на кривой поверхности. Возьмем поверхность сферы. Роль прямых на плоскости здесь будут играть кратчайшие дуги, примером которых могут служить дуги меридианов на поверхности Земли или дуги экватора. Но каждые два меридиана обязательно пересекутся, следовательно, на поверхности сферы нельзя найти параллельные кратчайшие линии. Перпендикуляры к экватору - ими как раз и являются меридианы - сходятся в полюсе. Нарисовав на поверхности сферы треугольник, образованный дугой экватора и двумя меридианами, т.е. с вершиной в полюсе, мы убедимся, что сумма углов этого треугольника больше двух прямых углов. Длина кратчайшего отрезка на поверхности сферы определяется иначе, иной формулой, чем длина кратчайшего отрезка на плоскости.

 

Можно найти кривую поверхность, па которой, при замене прямых кратчайшими на этой поверхности кривыми, так называемыми геодезическими линиями, все соотношения подчиняются геометрии Лобачевского: через точку, взятую вне такой линии, можно провести множество геодезических линий, не пересекающихся с данной, сумма углов образованного такими линиями треугольника меньше двух прямых углов, перпендикуляры расходятся и т.д.

 

Можно заменить переход от евклидовой геометрии к неевклидовой геометрии на плоскости - искривлением этой плоскости.

 

Но как представить себе неевклидову геометрию в пространстве переход от трехмерной евклидовой геометрии к трехмерной неевклидовой геометрии? Зрительного образа искривления трехмерного пространства мы не находим. Но мы можем считать искривлением трехмерного пространства всякий переход от евклидовых геометрических соотношений в этом пространстве к неевклидовым.

 

Когда Эйнштейн знакомился с евклидовой и неевклидовой геометрией на лекциях по математике в Цюрихе, он не представлял себе, какие именно геометрические понятия позволят найти и описать новую физическую теорию. Только через много лет он увидел, что интересовавшая его с отрочества проблема относительности движения имеет непосредственное отношение к координатным преобразованиям и кривизне пространства.

 

Для этого необходимо было придать понятию пространства более широкий смысл.

 

Эйнштейн подошел к трехмерному пространству и к описывающей его свойства трехмерной евклидовой геометрии с критерием физической содержательности. Существуют ли физические процессы, укладывающиеся в соотношения трехмерной евклидовой геометрии? Классическая физика допускала существование таких процессов. Созданная Эйнштейном теория относительности отрицает их возможность. Она приписывает физическую содержательность четырехмерной геометрии.

 

К содержанию книги:  Биография и труды Эйнштейна

 

Смотрите также:

 

 Специальная теория относительности. Альберт Эйнштейн

 

 Кванты. Планк. Эйнштейн

 

 Все в мире относительно

 

 Тайна Альберта Эйнштейна

 

Эйнштейн. Элдридж - ушедший сквозь время

 

 Загадки Времени. Время как энергия

 

 Кротовая нора — это своего рода тоннель в пространстве-времени

 

 тайны Земли и Вселенной. Загадка Большого Взрыва

 

 Физико-математические науки. Астрономия