СЛОВАРЬ ЮНОГО МАТЕМАТИКА

ДЕЛИМОСТЬ  

Делимость - одно из основных понятий, изучаемых в теории чисел .

Говорят, что целое число а делится на целое b Ф О, если частное ajb является целым, т. е. существует такое целое число с, что а = be. Например, 54 делится на 6, так как 54 = 6 9; 273 делится на 21, так как 273 = 21-13. Из определения делимости следует, что число О делится на любое число, отличное от нуля.

Часто утверждение о делимости числа а на число b выражают другими равнозначными словами: а кратно Ь, делитель а или же Ь делит а.

Всякое целое число а делится по крайней мере на четыре числа а, —а, 1, — 1. Натуральное число а называется простым, если никаких других делителей оно не имеет

Приведем несколько свойств делимости-

а)если числа а и b делятся на с, то и числа а + b, а —Ь делятся на с;

б)если а делится на b и с произвольное целое число, то ас делится на be;

в)если а делится на b и Ь~ на с, то а делится на с.

Зная разложения чисел а и b на простые множители, можно легко выяснить, делится ли а на Ь. Для того чтобы число а делилось на число Ь, необходимо и достаточно, чтобы каждый простой множитель, входящий в разложение числа b, входил и в разложение числа а; причем если простой множитель встречается к раз в разложении числа Ь, то он должен встретиться не менее к раз и в разложении числа а.

Гели целые числа а и b заданы своими записями в десятичной системе счисления, то, разделив «в столбик» первое число на второе, мы найдем их частное, а значит, сможем ответить на вопрос, делится ли а на Ь.

Уже давно были найдены признаки делимости чисел, которые позволяют в некоторых случаях быстро установить делимость одного числа на другое, не прибегая к непосредственному делению «в столбик». Среди этих признаков практически наиболее удобны следующие (связанные с записью числа в десятичной системе):

а)для делимости на 2 нужно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2;

б)для делимости на 3 нужно, чтобы сумма цифр числа делилась на 3;

в)для делимости на 4 нужно, чтобы число, записанное двумя последними цифрами, делилось на 4;

г)для делимости на 5 нужно, чтобы последняя цифра была 0 или 5;

д)для делимости на 8 нужно, чтобы число, записанное тремя последними цифрами, делилось на 8;

е)для делимости на 9 нужно, чтобы сумма цифр делилась на 9,

ж)для делимости на 10 нужно, чтобы последняя цифра была 0;

з)для делимости на 11 нужно, чтобы разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делилась на 11.

Развитие идеи делимости привело к понятию сравнения, использование которого позволило перенести в теорию чисел

алгебраические методы и с их помощью получить большое количество интересных результатов.