СЛОВАРЬ ЮНОГО МАТЕМАТИКА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ   

Математический анализ как анализ переменных величин с момента своего появления развивался в тесной связи с естествознанием, и в частности с физикой и механикой. Потребности развития физических наук, необходимость количественного изучения движения и меняющихся процессов привели к возникновению и формированию основных понятий дифференциального исчисления и интегрального исчисления.

Понятие дифференциального уравнения - одно из основных. Чтобы разъяснить это понятие, рассмотрим, из чего складывается изучение какого-либо физического процесса. Это-создание физической гипотезы, основанной на эксперименте, математическая форма записи физической гипотезы, математическое решение этой задачи и физическое толкование выводов из ее решения. Такой подход к изучению явлений природы впервые был предложен итальянским ученым Г Галилеем (1564-1642). Впервые его блестяще применил один из создателей математического анализа И. Ньютон. Математически сформулировать физические законы оказалось возможным лишь с появлением математического анализа и на его языке.

В очень большом числе случаев физические законы описывают некоторые соотношения между величинами, характеризующими изучаемый процесс, и скоростью изменения этих величин. Другими словами, эти законы выражаются равенствами, в которых участвуют неизвестные функции и их производные. Такие равенства называются дифференциальными уравнениями. Они появляются как математическая форма записи ряда физических законов. Изучение процессов, описываемых этими законами, сводится к изучению свойств решений дифференциальных уравнений. Поясним это на примерах.

Пусть тело /например, металлическая пластина), нагретое до температуры у0, в момент времени t = 0 погружается в очень большой сосуд с воздухом нулевой температуры. Очевидно, тело начнет охлаждаться, и его температура будет функцией времени t. Обозначим ее y(t).

Согласно закону охлаждения Ньютона, скорость изменения температуры тела, т.е. производная dyjdt, пропорциональна разности температур тела и окружающей среды, в данном случае пропорциональна y{t). Таким образом получаем, что в каждый момент времени справедливо соотношение (£-положительный коэффициент, зависящий от материала тела, знак «минус» потому, что температура убывает).

Это соотношение  в виде дифференциального уравнения является математической записью закона охлаждения, которое выражает зависимость между функцией (температурой) и ее производной в один и тот же момент времени. Его также называют математической моделью рассматриваемого процесса.

Решить дифференциальное уравнение- значит найти все функции у(г), которые обращают уравнение в тождество. Все решения приведенного выше дифференциального уравнения даются формулой

у = Се (где С-п роизвол ьна я постоянная), которая представляет собой его общее решение. Нахождение решения дифференциального уравнения всегда связано с операцией интегрирования, поэтому вместо слова «решить» часто употребляется глагол «проинтегрировать» (дифференциальное уравнение).

В процессе охлаждения тела, который мы рассматриваем, нас интересует лишь то решение, которое в момент времени г = 0 принимает значение у0. Подставляя в приведенную выше формулу t — 0, находим: С — у0. Значит; закон охлаждения окончательно можно выразить так:

Как видим, температура тела с течением времени понижается по показательному (экспоненциальному) закону и стремится к температуре окружающей среды .

Условие >^0) = у0 принято называть начальным, оно позволяет из бесконечного множества решений выбрать единственное.

Рассмотренное дифференциальное уравнение  выражает тот факт, что скорость изменения функции пропорциональна (с коэффициентом-ft) самой функции.' Такая зависимость наблюдается и в других явлениях природы, например падение атмосферного давления в зависимости от высоты над уровнем моря пропорционально величине давления. Еще пример-радиоактивный распад: скорость уменьшения массы радиоактивного вещества пропорциональна количеству этого веще

ства. Следовательно, атмосферное давление у как функция высоты t над уровнем моря и масса радиоактивного вещества у как функция времени t удовлетворяют уравнению . Как видим, одно и то же дифференциальное уравнение может служить математической моделью совершенно разных явлений,

Рассмотрим небольшой шарик массой от, к которому прикреплена горизонтально расположенная пружина. Другой ее конец закреплен . Направим ось Ох вдоль оси пружины, за начало координат примем положение равновесия шарика. Если немного сместить шарик вдоль оси, то возникнет упругая сила F, стремящаяся вернуть его в положение равновесия. По закону Гука, эта сила пропорциональна смещению х, т.е. F = — кх (к-положительная константа, характеризующая упругие свойства пружины, знак «минус» ставится потому, что сила восстанавливающая). Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело массой щ равна произведению массы на ускорение а: F = та.

Если же х(*)- положение шарика в момент времени t, то его ускорение выражается второй производной х"{г). Таким образом, движение шарика под действием упругих сил можно выразить дифференциальным уравнением

mx"(t) = - kx(t),

которое чаще записывается в виде

x"(t) + (02x(t) = О, где т2 = к/т.

Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Можно доказать, что любое его решение может быть записано в виде

x(t) — A cos (tot + ф),

здесь А и ф-произвольные постоянные. Движения, характеризуемые таким уравнением, называются гармоническими колебаниями. Они представляют собой периодическое движение ( 3) с периодом Т= 2я/ш; величина А называется амплитудой колебания.

Очевидно, что дифференциальное уравнение х" (г) + со2х(г) = 0 не вполне определяет движение шарика. Оно зависит от того, на какую величину х0 шарик был смещен в момент времени t = 0 и с какой скоростью v = х' (0) он отпущен, т.е. зависит от начальных данных. Если, например, скорость была нулевой, то движение шарика будет подчиняться закону

x(t) = Х0 COS cat.

Полученное нами выше дифференциальное уравнение есть математическая форма записи (математическая модель) закона движения под действием только силы упругости. Если рассмотреть движение шарика в среде, оказывающей сопротивление, и предположить, что кроме сил упругости на шарик действует сила сопротивления, пропорциональная скорости движения, то дифференциальное уравнение такого движения будет иметь вид:

отх"(г) + ос'(0+Мг) = 0.

Решения этого уравнения уже не являются периодическими функциями, а представляют собой колебания с изменяющейся амплитудой, так называемые затухающие колебания .

Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным; таковы рассмотренные выше уравнения. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в него. Как видим, уравнение dy/dt = —ку первого порядка, уравнение x"(t) + ©2х(г) = 0- второго.

Если неизвестная функция зависит от нескольких переменных, то дифференциальное уравнение содержит ее частные производные и называется дифференциальным уравнением с частными производными. Такие уравнения

описывают, например, колебание мембраны, распространение тепла в некоторой среде, движение спутника.

Дифференциальные уравнения—важный математический аппарат в естествознании. Они применяются в физике и астрономии, аэродинамике и теории упругости, химии и экономике, биологии и медицине.

Дифференциальное уравнение первого порядка вида dx/dt =/(х, г) допускает простую геометрическую интерпретацию. Если х = = ф(г)- !го решение, то это уравнение в каждой точке кривой х = ф(() задает значение производной dx/dt, т е. значение тангенса угла наклона касательной. Таким образом, в каждой точке области определения функции /(x,t) задается угловой коэффициент касательной к решению, как говорят, задается поле направлений. Геометрически поле направлений обычно изображается единичными векторами.    

Представлено поле направлений дифференциального уравнения dx/dt = = t2 + х2.

Решение дифференциального уравнения есть кривая, которая в каждой точке касается поля направлений, ее называют интегральной кривой позволяет довольно ясно представить, как должны выглядеть интегральные кривые этого уравнения.

В XVIII в. теория дифференциальных уравнений выделилась из математического анализа в самостоятельную математическую дисциплину. Ее успехи связаны с именами швейцарского ученого И. Бернулли, французского математика Ж. Лагранжа и особенно Л. Эйлера.

Первый период развития дифференциальных уравнений был связан с успешным решением некоторых важных прикладных задач, приводящих к дифференциальным уравнениям, разработкой методов интегрирования различных видов дифференциальных уравнений и поиском классов интегрируемых уравнений, т.е. таких, решение которых может быть найдено в квадратурах (в виде элементарных функций или их первообразных). Однако очень скоро выяснилось, что интегрируемых уравнений совсем не много. Даже уравнение первого порядка очень простого вида может не интегрироваться в квадратурах.

Установление таких фактов привело к развитию собственно теории дифференциальных уравнений, которая занимается разработкой методов, позволяющих по свойствам дифференциального уравнения определять свойства и характер его решения.