СЛОВАРЬ ЮНОГО МАТЕМАТИКА

 

 

КАВАЛЬЕРИ ПРИНЦИП    

 

 

 

В XVII в. началась эпоха интегрального исчисления. Математики возвращались к задачам о вычислении площадей криволинейных фигур и объемов «кривых» тел, которыми так успешно занимался в древности Архимед.

 

Интересовался этим вопросом и итальянский монах Бонавентура Кавальери (1598--1647). Он занимал кафедру математики в Болонском университете. В переписке с астрономом и математиком Г. Галилеем они обсуждали разнообразные механические и математические проблемы, и в частности метод «неделимых».

 

Галилей собирался, но так и не написал книгу об этом методе. В 1635 г вышла книга Кавальери «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых частей непрерывных величии».

 

При вычислении площадей многоугольников бывает полезно преобразовывать фигуры, не меняя их площадей, например разрезать на части и составлять новые . Так можно преобразовать друг в друга треугольники с равными основаниями и высотами.

 

Можно ли аналогичным образом преобразовывать криволинейные фигуры? Кавальери представляет их себе состоящими из бесконечно тонких параллельных плоских слоев- «неделимых» или «нитей» ( 1) и утверждает, что площадь не меняется при сдвигах этих слоев друг относительно друга. Иначе, принцип Кавальери состоит в том, что если пересечь фигуру семейством всех прямых, параллельных заданной, то длины пересечений полностью определят площадь фигуры. В частности, если у двух фигур эти длины совпадают, то они равновелики. Строгого обоснования своего принципа Кавальери не дал, но рассмотрел его многочисленные применения.

 

Еще более эффективен принцип Кавальери при нахождении объемов тел. Он состоит в том, что объем тела определяется площадями его пересечений «всеми плоскостями», параллельными некоторой заданной. Отсюда следует теорема о равновеликости пирамид с равновеликими основаниями и равными высотами, а эти пирамиды, как правило, не рав- носоставлены . На этой теореме основывается формула для объема пирамиды. Очень удобен принцип Кавальери и для получения формул объемов круглых тел, скажем шара. Впишем в круговой цилиндр радиусом г и высотой 2г шар. Тело, являющееся дополнением шара до цилиндра, по принципу Кавальери равновелико телу, составленному из двух конусов, построенных на верхнем и нижнем основаниях цилиндра с вершиной в центре шара. Отсюда следует, что V = 4/Зтсг3.

 

Интегральное исчисление содержит общие методы для вычисления площадей и объемов, причем там, где применение принципа Кавальери требовало нестандартных построений, к успеху приводят стандартные вычисления, и постепенно принцип Кавальери отошел в область истории. Однако, поскольку по принципу Кавальери легко вычисляются все «школьные» объемы и площади, неоднократно предлагалось принять принцип Кавальери в школьной геометрии за аксиому Этот материал можно найти в школьных учебниках.

 

 

 

Смотрите также:

 

Движенья нет

А взгляды Кеплера и Кавальери, предтеч Ньютона в создании новой математики
Они рассуждали примерно так: да, интеграл и производную можно вычислить как пределы.

 

Дифференциальное и интегральное счисление.

Позднее тем же вопросом занялся итальянский математик Кавальери.
Если интегралы непосредственно не вычислялись, Ньютон разлагал подынтегральную функцию в степенной...

 

Теорема Ферма. Пьер Ферма. Книги из серии 100 Сто Великих

...методы вычисления площадей разработал итальянский ученый Кавальери.
Оставался только шаг, чтобы перейти от площади к еще более абстрактному понятию «интеграл».

 

Принцип максимизации в экономическом анализе.

Что касается значения принципов максимума в естественных науках, то я покажу, что
о том, что шарик Галилея скатывается по наклонной плоскости, как бы минимизируя интеграл...