СЛОВАРЬ ЮНОГО МАТЕМАТИКА

 

 

ОБЪЕМ       

 

 

 

Объем - величина, характеризующая размер геометрического тела. В повседневной жизни нам часто приходится определять объемы различных тел. Например, нужно определить объем ящика, коробки. Это несложно подсчитать: объем прямоугольного параллелепипеда определяется как произведение величин длины, ширины и высоты, Все эти измерения должны быть выражены в одних и тех же линейных единицах.

 

Ребенок, не знающий формул, может подойти к измерению объема коробки и чисто опытным путем плотно уложить в нее кубики с сантиметровым ребром. Их число и выразит собою объем коробки в кубических сантиметрах. В основе такого приема лежит правило: объем тела, составленного из непересекающихся тел, равен сумме их объемов.

 

В житейской практике единицами объема служили меры емкости, используемые для хранения сыпучих и жидких тел. Среди них английские меры бушель (36,4 дм3) и галлон (4,5 дм3), меры, когда-то применявшиеся в России-ведро (12дм3) и бочка (490дм3) и др.

 

Поиск формул, позволяющих вычислять объемы тел, был долог. Например, в древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для определения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды. Определять объем призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки и до Архимеда. Но только он нашел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления, Сам Архимед определил с помощью своего метода площади и объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. Он вывел, что объем шара составляет две трети от объема описанного около него цилиндра. Он считал это открытие самым большим своим достижением .

 

Если тело рассечь на части и потом сложить их по-иному, то объем полученного тела будет равен объему исходно. Этим правилом пользуются, отыскивая формулы объемов различных тел. Например, наклонный параллелепипед можно разбить на части и перекомпоновать их таким образом, чтобы получился прямоугольный параллелепипед. Отсюда следует, что обьем наклонного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.

 

Применяют при вычислении объемов и принцип Кавальери . В этом случае рассматриваются два тела. Они рассекаются плоскостями, параллельными некоторой данной плоскости и равноотстоящими от нее. Если оба получившихся сечения каждый раз будут одинаковы по площади, то будут равны и объемы обоих тел. На основании этого принципа нетрудно вывести формулу для объема призмы и шара.

 

Объемы сложных тел можно отыскивать, вписывая в них более простые тела. Например, определяя объем пирамиды, можно вписать в нее стопку призм и подсчитать их суммарный объем, затем вписать стопку призм, имеющих меньшую высоту, и вновь подсчитать их суммарный объем и т.д. Повторяя эту процедуру неограниченное число раз и устремляя к нулю высоту вписываемых призм, нетрудно получить в пределе известную формулу для объема пирамиды. Обьем цилиндра можно определить похожим способом, вписывая в него призмы, у которых в основании лежат многоугольники со все увеличивающимся числом сторон. Вписывая такие же многоугольники в основание конуса и принимая их за основания пирамид, вписанных в конус, нетрудно определить и его объем.

 

Наиболее общие методы нахождения объемов тел дает интегральное исчисление.

 

 

 

Смотрите также:

 

Математические знания. На Древнем Востоке математика...

объем призмы и цилиндра; объем усеченного конуса они считали по неправильной формуле: 1/2 (ЗR2
Идеи математического доказательства в древневосточной математике еще не было.

 

Основные способы демонстрации тезиса. Под демонстрацией...

Простейшие рассуждения такого типа часто встречаются, например, в математике, когда приходится сопоставлять различные классы (объемы) понятий.

 

Полная индукция. Умозаключение, основанное на исследовании...

...частных случаев, которые полностью исчерпывают объем данного класса, называют полной индукцией.
В математике доказательства, основанные на полной индукции, называют...