СЛОВАРЬ ЮНОГО МАТЕМАТИКА

ПЬЕР ФЕРМА (1601-1665)       

Работа советника в парламенте города Тулузы не мешала Ферма (заниматься математикой. Постепенно он приобрел славу одного из первых математиков Франции, хотя и н писал книг (научных журналов еще не было), ограничиваясь лишь письмами с коллегам. Среди них были Р Декарт, Ж. Дезарг, Ж. Роберваль и другие. Он соперничал с французским ученым Р. Декартом в создании аналитической геометрии, общих методов решения задач на максимум и. минимум. Его приемы построения! касательных к кривым, вычисления площадей криволинейных фигур, вычисления длин кривых прокладывали дорогу к созданию дифференциального и интегрального исчислений, С переписки П. Ферма и 5. Паскаля отсчитывает свою историк» теория вероятностей.

Имя Ферма носит основной принцип геометрической оптики, в силу которого свет э неоднородной среде выбирает путь, занимающий наименьшее в] ;мя (впрочем. Ферма считал, что скорость света бесконечна, и формулировал принцип бол ,: туманно). Однако больше всего прославили Ферма работы по теории чисел.

Математики Древней Греции со времен Пифагора коллекционировали диковинные факты о конкретных натуральных числах, иногда очень больших, но теорем о числах не доказывали (за несколькими исключениями). Лишь древнегреческий математик Диофант (III в. н.э.) написал книгу «Арифметика», в которой б_1ли и отрицательные числа, и элементы символики, но, прежде всего, многочисленные факты о решении в целых числах алгебраических уравнений с несколькими неизвестными (их стали называть диофантовыми). Эта книга (не полностью) стала известна в Европе в XVI в., а в 1621 г. она была издана во Франции и стала настольной книгой Ферма.

Ученый постоянно интересовался арифметическими задачами, обменивался сложными задачами с co»pt меннивами. Начал Ферма с задач про магические квадраты ч кубы, но постепенно переключился на закономерности натуральных чи. л - арифметические теоремы. Несомненно влияние Диофанта на Ферма, и символично, что он записывает свои удивительные открытия на полях «Арифметики». Заметки и письма- вот и все, что осталось от занятий Ферма арифметикой. Ферма обнаружил, что число 1 — 1 при простом р всегда делится на р (ем Ферма малая теоремаX а число 2* + + 1 простое при к <4. Он решил, что эти числа простые при всех к, но Л. Эйлер впоследствии показал, что при к = 5 икается делитель 641. Эйлер такж- доказал гипотезу П. Ферма простые числа вида 4к + ! представляются в виде суммы квадратов (5 = 4+1; 13 = 9 + 4), а вида 4 к + 3-нет

Ферма занимают «невозможные» зада и задачи, не имеющие решений. Он обнаружил, что нельзя найти прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами, у которого площадочный квадрат Самое знаменитое утверждение о «невозможности» великая теорема Ферма. С работ Ферма началась новая математическая наука-теория чисел.

ло 99, на 13-опять-таки число 999999. Чтобы получить число, делящееся на 17, придется взять число из 16 девяток, на 19—число из 18 девяток. И всегда можно быть уверенным, что нужное число найдется, хотя и может оказаться очень длинным.

На чем основано доказательство этого факта? Дело в том, что при делении с остатком на р может встретиться конечное число различных остатков; 0, 1, 2      р — 1.

Поэтому найдутся два числа из девяток (пусть одно-из I девяток, а другое-из m девяток, f>m), такие, что оба они при делении на р дают один и тот же остаток. Тогда число из I — т девяток будет делиться на р. Заметим, что обсуждаемое утверждение равносильно тому, что для всякого простого р, не равного 2 и 5, существует число вида 1000...00 (единица с нулями), дающее при делении на простое число р остаток 1 Это очень важное утверждение. На нем основана, например, периодичность бесконечной десятичной дроби, полученной при обращении обыкновенной дроби 1/р, где рФ 2 и рф 5 (если выписывать последовательные десятичные знаки при делении 1 на р, то с некоторого места они начнут периодически повторяться).

Другая связь имеется с признаками делимости. Признак делимости на 3 основывается на том, что 9 делится на 3. Для того

чтобы узнать, делится ли на 11 число А = а„а„.. t.. ага , достаточно разбить е на двузначные числа справа налево: агаj. ... (последнее число может оказаться однозначным), сложить эти числа, и если полученная сумма делится на 11, то на 11 делится и Л, а ели Hi делится, то и А не будет делиться. Этот признак делимости основывается на том, что 99 делится на 11. Аналогичный признак делимости с разбиением на трехзначные числа имеется для 37. Такие признаки делимости можно построить для всех простых чисел р, не равных 2 и 5, но они могут оказаться неудобными.

Естественно попытаться уточнить, сколько же в точности девяток надо взять, чтобы получилось число, делящееся на р. Оказывается, что всегда годится число, состоящее из р — 1 девяток. Однако иногда достаточно и меньшего числа, но всегда это наименьшее число девяток I является делителем р — 1 До сих пор не известен ответ на вопрос, волновавший еще ГауссаI конечно или бесконечно число таких р, для которых 1 = р— 1 (так обстоит дело для р=7, 17, 19, 23, 29, 47, ,..).

Утверждение о делимости чисел, составленных из девяток, является частным случаем значительно более общего утверждения, носящего название малой теоремы Ферма : если р- простое число, а-натуральное число, не делящееся на р, то ар~1 при делении на р дает остаток 1 (утверждение о девятках получается при а =10). «Меня озарило ярким светом»,— писал Ферма, впервые сообщая об этом своем открытии в письме (1640).

В самом деле, эта теорема стала одним из самых фундаментальных фактов в теории делимости натуральных чисел. Ферма не оставил доказательства теоремы, и первое известное доказательство принадлежит Л. Эйлеру. В заключение дадим формулировку этой теоремы, не содержащую ограничений на число а: если р- простое число,, в—натуральное число, то а" - а делится на р.