СЛОВАРЬ ЮНОГО МАТЕМАТИКА

 

 

ПЬЕР ФЕРМА (1601-1665)       

 

 

 

Работа советника в парламенте города Тулузы не мешала Ферма (заниматься математикой. Постепенно он приобрел славу одного из первых математиков Франции, хотя и н писал книг (научных журналов еще не было), ограничиваясь лишь письмами с коллегам. Среди них были Р Декарт, Ж. Дезарг, Ж. Роберваль и другие. Он соперничал с французским ученым Р. Декартом в создании аналитической геометрии, общих методов решения задач на максимум и. минимум. Его приемы построения! касательных к кривым, вычисления площадей криволинейных фигур, вычисления длин кривых прокладывали дорогу к созданию дифференциального и интегрального исчислений, С переписки П. Ферма и 5. Паскаля отсчитывает свою историк» теория вероятностей.

 

Имя Ферма носит основной принцип геометрической оптики, в силу которого свет э неоднородной среде выбирает путь, занимающий наименьшее в] ;мя (впрочем. Ферма считал, что скорость света бесконечна, и формулировал принцип бол ,: туманно). Однако больше всего прославили Ферма работы по теории чисел.

 

Математики Древней Греции со времен Пифагора коллекционировали диковинные факты о конкретных натуральных числах, иногда очень больших, но теорем о числах не доказывали (за несколькими исключениями). Лишь древнегреческий математик Диофант (III в. н.э.) написал книгу «Арифметика», в которой б_1ли и отрицательные числа, и элементы символики, но, прежде всего, многочисленные факты о решении в целых числах алгебраических уравнений с несколькими неизвестными (их стали называть диофантовыми). Эта книга (не полностью) стала известна в Европе в XVI в., а в 1621 г. она была издана во Франции и стала настольной книгой Ферма.

 

Ученый постоянно интересовался арифметическими задачами, обменивался сложными задачами с co»pt меннивами. Начал Ферма с задач про магические квадраты ч кубы, но постепенно переключился на закономерности натуральных чи. л - арифметические теоремы. Несомненно влияние Диофанта на Ферма, и символично, что он записывает свои удивительные открытия на полях «Арифметики». Заметки и письма- вот и все, что осталось от занятий Ферма арифметикой. Ферма обнаружил, что число 1 — 1 при простом р всегда делится на р (ем Ферма малая теоремаX а число 2* + + 1 простое при к <4. Он решил, что эти числа простые при всех к, но Л. Эйлер впоследствии показал, что при к = 5 икается делитель 641. Эйлер такж- доказал гипотезу П. Ферма простые числа вида 4к + ! представляются в виде суммы квадратов (5 = 4+1; 13 = 9 + 4), а вида 4 к + 3-нет

 

Ферма занимают «невозможные» зада и задачи, не имеющие решений. Он обнаружил, что нельзя найти прямоугольный треугольник с целочисленными сторонами, у которого площадочный квадрат Самое знаменитое утверждение о «невозможности» великая теорема Ферма. С работ Ферма началась новая математическая наука-теория чисел.

ло 99, на 13-опять-таки число 999999. Чтобы получить число, делящееся на 17, придется взять число из 16 девяток, на 19—число из 18 девяток. И всегда можно быть уверенным, что нужное число найдется, хотя и может оказаться очень длинным.

На чем основано доказательство этого факта? Дело в том, что при делении с остатком на р может встретиться конечное число различных остатков; 0, 1, 2      р — 1.

 

Поэтому найдутся два числа из девяток (пусть одно-из I девяток, а другое-из m девяток, f>m), такие, что оба они при делении на р дают один и тот же остаток. Тогда число из I — т девяток будет делиться на р. Заметим, что обсуждаемое утверждение равносильно тому, что для всякого простого р, не равного 2 и 5, существует число вида 1000...00 (единица с нулями), дающее при делении на простое число р остаток 1 Это очень важное утверждение. На нем основана, например, периодичность бесконечной десятичной дроби, полученной при обращении обыкновенной дроби 1/р, где рФ 2 и рф 5 (если выписывать последовательные десятичные знаки при делении 1 на р, то с некоторого места они начнут периодически повторяться).

 

Другая связь имеется с признаками делимости. Признак делимости на 3 основывается на том, что 9 делится на 3. Для того

чтобы узнать, делится ли на 11 число А = а„а„.. t.. ага , достаточно разбить е на двузначные числа справа налево: агаj. ... (последнее число может оказаться однозначным), сложить эти числа, и если полученная сумма делится на 11, то на 11 делится и Л, а ели Hi делится, то и А не будет делиться. Этот признак делимости основывается на том, что 99 делится на 11. Аналогичный признак делимости с разбиением на трехзначные числа имеется для 37. Такие признаки делимости можно построить для всех простых чисел р, не равных 2 и 5, но они могут оказаться неудобными.

 

Естественно попытаться уточнить, сколько же в точности девяток надо взять, чтобы получилось число, делящееся на р. Оказывается, что всегда годится число, состоящее из р — 1 девяток. Однако иногда достаточно и меньшего числа, но всегда это наименьшее число девяток I является делителем р — 1 До сих пор не известен ответ на вопрос, волновавший еще ГауссаI конечно или бесконечно число таких р, для которых 1 = р— 1 (так обстоит дело для р=7, 17, 19, 23, 29, 47, ,..).

 

Утверждение о делимости чисел, составленных из девяток, является частным случаем значительно более общего утверждения, носящего название малой теоремы Ферма : если р- простое число, а-натуральное число, не делящееся на р, то ар~1 при делении на р дает остаток 1 (утверждение о девятках получается при а =10). «Меня озарило ярким светом»,— писал Ферма, впервые сообщая об этом своем открытии в письме (1640).

 

В самом деле, эта теорема стала одним из самых фундаментальных фактов в теории делимости натуральных чисел. Ферма не оставил доказательства теоремы, и первое известное доказательство принадлежит Л. Эйлеру. В заключение дадим формулировку этой теоремы, не содержащую ограничений на число а: если р- простое число,, в—натуральное число, то а" - а делится на р.

 

 

 

Смотрите также:

 

Теорема Ферма. Пьер Ферма. Книги из серии 100 Сто Великих

Дмитрий Самин. Могущественная математика. Теорема Ферма.
Это утверждение получило название малой теоремы Ферма.

 

Французский математик - Ферма. Биография Фермы.

Крупную заслугу Ферма перед. наукой видят, обыкновенно, во введении им бесконечно малой величины в.
18 октября 1640 г. Доказательство первой из этих двух теорем было.

 

100 великих научных открытий. Книги из серии 100 Сто Великих

Могущественная Математика: Теорема Пифагора. Евклидова Геометрия. Основы Алгебры. Логарифмы. Великая Теорема Ферма.