Случайные изменения среды. График плотности распределения по нормальному закону.

  Вся электронная библиотека >>>

 Экология и безопасность жизнедеятельности >>

 

Учебники для вузов

Экология и безопасность жизнедеятельности


Раздел: Экономика

10.2. Случайные изменения среды

 

Рассмотрим теперь модель, учитывающую случайные изменения среды. Простейшая модель, соответствующая уравнению (10.1), имеет вид

                   (10.15)

N(0)=N0,                  (10.16)

 где y(t) – случайная величина со средним значением, равным нулю. Решение задачи (уравнения (10.15) при условии (10.16)) имеет вид

.              (10.17)

Чтобы придать смысл интегралу   от случайной величины y(t), сделаем некоторые упрощающие предположения. Будем считать, что y(t) – ступенчатая функция: y(t)=yi, при i-1≤ti, i=1,2,.... при этом все случайные величины у, имеют нормальное распределение [6]. Нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса) наиболее часто встречается на практике. Большинство встречающихся на практике случайных величин, таких, например, как ошибки измерений, могут быть представлены как суммы большого числа сравнительно малых слагаемых – элементарных ошибок, каждая из которых вызвана действием отдельной причины, не зависящей от остальных. Каким бы законам распределения ни были подчинены элементарные ошибки, особенности этих распределений в сумме большого числа слагаемых нивелируются, а сумма оказывается подчиненной закону, близкому к нормальному. Например, проводя измерения длины листьев, упавших с деревьев в лесу, мы имеем случайную величину Х – длину листьев. Вероятность того, что Х<х, т. е. Р={Х <х}, называется функцией распределения случайной величины и обозначается через F(x), а ее производная F'(x) = f(x) называется плотностью распределения и в случае нормального закона распределения имеет вид (рис. 10.1)

.            (10.18)

 

 

Численные параметры т и σ – это математическое ожидание (среднее значение) и среднее квадратичное отклонение случайной величины X. Действительно,

Применяя замену переменной , получаем

           (10.19)

Нетрудно убедиться, что первый из двух интегралов в уравнении (10.19) равен нулю, а второй представляет собой известный интеграл Эйлера–Пуассона

,              (10.20)

поэтому из уравнения (10.19) вытекает, что М[Х]=т. Вычислим дисперсию величины X:

Применив снова замену переменной  получим

              (10.21)

Интегрируем это выражение по частям:

               (10.22)

Следовательно, σ в выражении (10.18) равна корню из дисперсии, т. e. среднему квадратичному отклонению. Итак,

Е[уi]=т, D[yi]=var(yi)=σ2.           (10.23)

Покажем, что если т= , то Е. Действительно,

Применив снова замену х = , получим

            (10.24)

Вернемся к формуле (10.17), которая в наших предположениях имеет вид

,                      (10.25)

откуда для среднего значения N(t) получаем выражение

,                    (10.26)

а для дисперсии D[N] = var(N) –

         (10.27)

Теперь имеем

     (10.28)

 

Следовательно,

                  (10.29)

и коэффициент вариации при t → ∞ равен

.               (10.30)

Из формул (10.26) и (10.30) следует, что хотя, как и в детерминистском случае, среднее значение N(t) экспоненциально возрастает, экспоненциально возрастают и отклонения от среднего значения. Таким образом, с течением времени колебания численности популяции становятся все более резкими. В этом отражается то обстоятельство, что детерминистская система не имеет стационарного состояния, более того, при определенных соотношениях между а и σ вероятность ее вымирания приближается к единице.

Найдем вероятность вымирания популяции за время t – функцию p0(t):

Положим, тогда уt, имеет нормальное распределение, причем , vaz(yt)=2. Следовательно,

Полагая , имеем

               (10.31)

 

где Ф(х) =  – так называемый интеграл ошибок.

Если >0, т. e. σ2>2a, то  → ∞ при t→ ∞, следовательно,

Проведенный анализ показывает, что преимущественное использование детерминистских, а не стохастических моделей оправдано лишь тем, что в математическом плане они проще и удобнее. При этом если детерминистская модель свидетельствует об устойчивом равновесии, то соответствующая стохастическая модель предсказывает длительное выживание; если же детерминистская модель не выявляет равновесия или предсказывает неустойчивое равновесие, то стохастическая модель может предсказать вероятность вымирания.

 

К содержанию книги:  Экология и безопасность жизнедеятельности

 

Смотрите также:

 

Экологическое право. Вопросы и аспекты  "Экологическое право. Право окружающей среды"   "Экологическое право"   "Экологическое право" 

 

Цены и ценообразование   Цены и ценообразование  "Финансовое право"   "Хозяйственное право"

 

ЭКОЛОГИЯ — наука, изучающая условия существования живых организмов ...

Впервые термин «экология» был использован нем. биологом Э. Геккелем в 1866 г., однако наиболее активное развитие Э. началось лишь в 30-х гг. 20 в. ...
www.bibliotekar.ru/624-7/67.htm

 

Экономические основы решения экологического, сырьевого и ...

На уже функционирующие международные и региональные экологические организации ... Экология в последнее время стала постоянным объектом. ...
www.bibliotekar.ru/biznes-38/87.htm

 

Влияние урбанизированной жилой среды на условия проживания и ...

Рассмотрение экологических проблем с современных позиций позволяет утверждать, что ухудшение окружающей природной среды не является...
www.bibliotekar.ru/zhilishe/2.htm

 

Оценка общей экономической ценности природных территорий

Экологические системы и особо охраняемые природные территории .... с определением хозяйственной и экологической ценности природных ресурсов. ...
www.bibliotekar.ru/biznes-8/85.htm