Вся электронная библиотека >>>

 Социально-экономическая статистика >>

 

Учебные пособия

Курс социально-экономической статистики


Раздел: Экономика

 

53.3. Компонентный анализ

 

Компонентный анализ предназначен для преобразования системы k исходных признаков в систему k новых показателей (главных компонент). Главные компоненты не коррелированы между собой и упорядочены по величине их дисперсий, причем первая главная компонента имеет наибольшую дисперсию, а последняя, k-я наименьшую. При этом выявляются неявные, непосредственно не измеряемые, но объективно существующие закономерности, обусловленные действием как внутренних, так и внешних причин.

Компонентный анализ является одним из основных методов факторного анализа. В задачах снижения размерности и классификации обычно используются т первых компонент (т <<  k).

При наличии результативного признака у может быть построено уравнение регрессии на главных компонентах.

На основании матрицы исходных данных

 

 

размерности п х k, где хij.— значение j-го показателя у i-го наблюдения (i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, .... k), вычисляют средние значения показателей  а также s1, ..., sk и матрицу нормированных значений

 

с элементами

 

 

Рассчитывается матрица парных коэффициентов корреляции:

 

 

 

 

 

                   (53.24)

 

с элементами

 

               (53.25)

 

где j, l= 1, 2, .... k.

На главной диагонали матрицы R, т.е. при j = l, расположены элементы

 

 

Модель компонентного анализа имеет вид

 

                (53.26)

 

где aiv — «вес», т.е. факторная нагрузка v-й главной компоненты на j-ю переменную;

fiv — значение v-й главной компоненты для i-го наблюдения (объекта), где v = 1, 2, ...,k.

В матричной форме модель (53.26) имеет вид

                       (53.27)

 

fiv — значение v-й главной компоненты для i-го наблюдения (объекта);

aiv — значение факторной нагрузки v-й главной компоненты на j-ю переменную.

Матрица F описывает п наблюдений в пространстве k главных компонент. При этом элементы матрицы F нормированы, т.е. fv = , a главные компоненты не коррелированы между собой. Из этого следует, что                    

 

                   (53.28)

 

Выражение (53.28) может быть представлено в виде

 

                       (53.29)

 

С целью интерпретации элементов матрицы А рассмотрим выражение для парного коэффициента корреляции между переменной zj и, например, f1-й главной компонентой. Так как zо и f1 нормированы, будем иметь с учетом (53.26):

 

 

Принимая во внимание (53.29), окончательно получим

 

 

Рассуждая аналогично, можно записать в общем виде

 

                     (53.30)

 

для всех j = 1, 2, .,., k и v = 1, 2, .... k.

Таким образом, элемент ajv матрицы факторных нагрузок А характеризует тесноту линейной связи между исходной переменной zj и главной компонентой fv, т.е. –1  ajv   +1.

Рассмотрим теперь выражение для дисперсии нормированной переменной zj. С учетом (53.26) будем иметь

 

 

где v, v'= 1, 2, ..., k.

Учитывая (53.29), окончательно получим

 

               (53.31)

 

По условию, переменные zj нормированы и s = 1. Таким образом, дисперсия переменной zj, согласно (53.31), представлена своими составляющими, определяющими долю вклада в нее всех k главных компонент.                                                 

Полный вклад v-й главной компоненты в дисперсию всех k исходных признаков вычисляется по формуле               

 

                  (53.32)

 

Одно из основополагающих условий метода главных компонент связано с представлением корреляционной матрицы R через матрицу факторных нагрузок А. Подставив для этого (53.27) в (53.24), будем иметь

 

 

Учитывая (53.28), окончательно получим

 

                    (53.33)

 

Перейдем теперь непосредственно к отысканию собственных значений и собственных векторов корреляционной матрицы R.

Из линейной алгебры известно, что для любой симметричной матрицы R всегда существует такая ортогональная матрица U, что выполняется условие

 

                  (53.34)

Так как матрица R положительно определена, т.е. ее главные миноры положительны, то все собственные значения λv > 0 для любых v =1, 2, ..., k.

В компонентном анализе элементы матрицы Λ ранжированы: λ1 ≥ λ2 ... λv ... ≥ λk ≥ 0. Как будет показано ниже, собственное значение λv характеризует вклад v-й главной компоненты в суммарную дисперсию исходного признакового пространства.

Таким образом, первая главная компонента вносит наибольший вклад в суммарную дисперсию, а последняя, k-я, — наименьший.

В ортогональной матрице U собственных векторов v-й столбец является собственным вектором, соответствующим λv -му значению.

Собственные значения λ1 ≥ ... ≥ λv.... λk находятся как корни характеристического уравнения

 

               (53.35)

 

Собственный вектор Vv, соответствующий собственному значению λv корреляционной матрицы R, определяется как отличное от нуля решение уравнения, которое следует из (53.34):

 

                       (53.36)

 

Нормированный собственный вектор Uv равен

 

 

Из условия ортогональности матрицы U следует, что U-1 = UT, но тогда, по определению, матрицы R и Λ подобны, так как они, согласно (53.34), удовлетворяют условию

 

 

Так как у подобных матриц суммы диагональных элементов равны, то

 

 

Учитывая, что сумма диагональных элементов матрицы R равна k, будем иметь

 

 

Таким образом,

 

                       (53.37)

 

Представим матрицу факторных нагрузок А в виде

 

                       (53.38)

 

а v-й столбец матрицы А — как

 

 

где Uv — собственный вектор матрицы R, соответствующий собственному значению λv.

Найдем норму вектора Аv:

 

                    (53.39)

 

Здесь учитывалось, что вектор Uv — нормированный и UUv = 1. Таким образом,                   

 

 

Сравнив полученный результат с (53.32), можно сделать вывод, что собственное значение λv характеризует вклад v-й главной компоненты в суммарную дисперсию всех исходных признаков. Из (53.38) следует, что

 

                       (53.40)

 

Согласно (53.37), общий вклад всех главных компонент в суммарную дисперсию равен k. Тогда удельный вклад v-й главной компоненты определяется по формуле .

Суммарный вклад т первых главных компонент определяется из выражения .

Обычно для анализа используют т первых главных компонент, вклад которых в суммарную дисперсию превышает 60—70%.

Матрица факторных нагрузок А используется для экономической интерпретации главных компонент, которые представляют собой линейные функции исходных признаков. Для экономической интерпретации fv используются лишь те хj, для которых |ajv| > 0,5.

Значения главных компонент для каждого i-го объекта (i = 1, 2, .... n) задаются матрицей F.

Матрицу значений главных компонент можно получить из формулы

 

 

откуда

 

 

Уравнение регрессии на главных компонентах строится по алгоритму пошагового регрессионного анализа, где в качестве аргументов используются главные компоненты, а не исходные показатели. К достоинству последней модели следует отнести тот факт, что главные компоненты не коррелированы. При построении уравнений регрессии следует учитывать все главные компоненты.

 

Пример. Построение регрессионного уравнения

 

По данным примера из § 53.2 провести компонентный анализ и построить уравнение регрессии урожайности Y на главных компонентах.

Решение. В примере из § 53.2 пошаговая процедура регрессионного анализа позволила исключить отрицательное значение мультиколлинеарности на качество регрессионной модели за счет значительной потери информации. Из пяти исходных показателей в окончательную модель вошли только два (x1 и x4). Более рациональным в условиях мультиколлинеарности можно считать построение уравнения регрессии на главных компонентах, которые являются линейными функциями всех исходных показателей и не коррелированы между собой.

Воспользовавшись методом главных компонент, найдем собственные значения и на их основе — вклад главных компонент в суммарную дисперсию исходных показателей x1, х2, х3, х4, х5 (табл. 53.2).

 

Таблица 53.2

Собственные значения главных компонент

 

 

Ограничимся экономической интерпретацией двух первых главных компонент, общий вклад которых в суммарную дисперсию составляет 89,0%. В матрице факторных нагрузок

 

 

звездочкой указаны элементы аjv = rxjfv, учитывающиеся при интерпретации главных компонент fv, где j, v = 1, 2, ..., 5.

Из матрицы факторных нагрузок А следует, что первая главная компонента наиболее тесно связана со следующими показателями: x1 — число колесных тракторов на 100 га (a11 = rx1f1 = 0,95); х2 число зерноуборочных комбайнов на 100 га (rx2f1 = 0,97); х3 число орудий поверхностной обработки почвы на 100 га (rx3f1 = 0,94). В этой связи первая главная компонента — f1 — интерпретирована как уровень механизации работ.

Вторая главная компонента — f2 — тесно связана с количеством удобрений 4) и химических средств оздоровления растений (x5), расходуемых на гектар, и интерпретирована как уровень химизации растениеводства.

Уравнение регрессии на главных компонентах строится по данным вектора значений результативного признака Y и матрицы F значений главных компонент.

Некоррелированность главных компонент между собой и тесноту их связи с результативным признаком у показывает матрица парных коэффициентов корреляции (табл. 53.3).

Анализ матрицы парных коэффициентов корреляции свидетельствует о том, что результативный признак у наиболее тесно связан с первой (ryf1 = 0,48), третьей (ryf3 = 0,37) и. второй (ryf2 = 0,34) главными компонентами. Можно предположить, что только эти главные компоненты войдут в регрессионную модель у.

 

Таблица 53.3

Матрица парных коэффициентов корреляции

 

 

Первоначально в модель у включают все главные компоненты (в скобках указаны расчетные значения t-критерия):

 

                  (53.41)

 

Качество модели характеризуют: множественный коэффициент детерминации r = 0,517, средняя относительная ошибка аппроксимации  = 10,4%, остаточная дисперсия s2 = 1,79 и Fнабл = 121. Ввиду того что Fнабл > Fкр =2,85 при α = 0,05, v1 = 6, v2 = 14, уравнение регрессии значимо и хотя бы один из коэффициентов регрессии — β1, β2, β3, β4 — не равен нулю.

Если значимость уравнения регрессии (гипотеза Н0: β1 = β2 = β3 = β4 = 0 проверялась при α = 0,05, то значимость коэффициентов регрессии, т.е. гипотезы H0: βj = 0 (j = 1, 2, 3, 4), следует проверять при уровне значимости, большем, чем 0,05, например при α = 0,1. Тогда при α = 0,1, v = 14 величина tкр = 1,76, и значимыми, как следует из уравнения (53.41), являются коэффициенты регрессии β1, β2, β3.

Учитывая, что главные компоненты не коррелированы между собой, можно сразу исключить из уравнения все незначимые коэффициенты, и уравнение примет вид

 

                  (53.42)

 

Сравнив уравнения (53.41) и (53.42), видим, что исключение незначимых главных компонент f4 и f5, не отразилось на значениях коэффициентов уравнения b0 = 9,52, b1 = 0,93, b2 = 0,66 и соответствующих tj (j = 0, 1, 2, 3).

Это обусловлено некоррелированностью главных компонент. Здесь интересна параллель уравнений регрессии по исходным показателям (53.22), (53.23) и главным компонентам (53.41), (53.42).

Уравнение (53.42) значимо, поскольку Fнабл = 194 > Fкр = 3,01, найденного при α = 0,05, v1 = 4, v2 = 16. Значимы и коэффициенты уравнения, так как tj > tкр. = 1,746, соответствующего α = 0,01, v = 16 для j = 0, 1, 2, 3. Коэффициент детерминации r = 0,486 свидетельствует о том, что 48,6% вариации у обусловлено влиянием трех первых главных компонент.

Уравнение (53.42) характеризуется средней относительной ошибкой аппроксимации  = 9,99% и остаточной дисперсией s2 = 1,91.

Уравнение регрессии на главных компонентах (53.42) обладает несколько лучшими аппроксимирующими свойствами по сравнению с регрессионной моделью (53.23) по исходным показателям: r = 0,486 > r = 0,469;  = 9,99% <  (х) = 10,5% и s2(f) = 1,91 < s2(x) = 1,97. Кроме того, в уравнении (53.42) главные компоненты являются линейными функциями всех исходных показателей, в то время как в уравнение (53.23) входят только две переменные (x1 и х4). В ряде случаев приходится учитывать, что модель (53.42) трудноинтерпретируема, так как в нее входит третья главная компонента f3, которая нами не интерпретирована и вклад которой в суммарную дисперсию исходных показателей (x1, ..., х5) составляет всего 8,6%. Однако исключение f3 из уравнения (53.42) значительно ухудшает аппроксимирующие свойства модели: r = 0,349;  = 12,4% и s2(f) = 2,41. Тогда в качестве регрессионной модели урожайности целесообразно выбрать уравнение (53.23).

 

К содержанию книги: Курс социально-экономической статистики

 

Смотрите также:

  

 СТАТИСТИКА ЭКОНОМИЧЕСКАЯ. Отрасль статистики, изучающая ...

СТАТИСТИКА ЭКОНОМИЧЕСКАЯ. Отрасль статистики, изучающая материальное
производство с целью выявления пропорций, тенденций и закономерностей развития ...
bibliotekar.ru/biznes-15-6/133.htm

 

  ПРОГНОЗ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ статистика ...

ПРОГНОЗ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ ... Вводный курс по
экономической теории ... Главные направления современной экономической
bibliotekar.ru/biznes-64/164.htm

 

  Деньги. Кредит. Банки

Л.П. Кроливецкой. - М.: Финансы и статистика, 1996. Березина М.П.
Безналичные расчеты в экономике России. - М.: Консалт-банкир, 1997.
bibliotekar.ru/biznes-36/index.htm

 

  ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ

ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ ... Статистика дает
общую картину состояния и развития национального хозяйства, освещает ...
bibliotekar.ru/mezhdunarodnye-otnosheniya.../184.htm

 

  Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе

Для студентов, обучающихся по специальностям «Статистика», «
Математические методы и исследование операций в экономике», «
bibliotekar.ru/riskovye-situacii-2/index.htm

 

  Практическое значение экономической теории. Главные ...

межотраслевых (экономическая география, демография, статистика и др.).
Экономическая теория — одна из общественных наук наряду с историей, ...
bibliotekar.ru/biznes-38/9.htm

 

  Принципы экономической науки

Азимов Л.Б., Журавская Е.В., Макарова О.Ю. Преподавание экономики в
школе. ... М.: Финансы и статистика, 1994. ... Антология экономической
bibliotekar.ru/biznes-63/25.htm

 

  Деятельность предприятия. Экономика предприятия

М.: Финансы и статистика, 1996. 11. Настольная книга финансиста / Под ред.
В.Г. Панскова. – М: Международный центр финансово-экономического ...
www.bibliotekar.ru/economika-predpriyatiya/

 

ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКИЕ СВЯЗИ   Внешнеэкономическая деятельность предприятия