|
|
Целевая функция в рассматриваемой
задаче относится к классу так называемых сепарабельных функций, для которых
хорошие результаты дает применение метода динамического программирования.
Гибкость этого метода, простота учета ограничений, а также любых, в том числе
и достаточно сложных, реальных условий работы ПЭС и ее характеристик
обусловили его преимущественное применение при оптимизации режима работы ПЭС
как для эксплуатационных, так и для проектных задач.
Известны различные модификации метода динамического
программирования.
Метод динамического программирования в его общем виде, как
у Бел- лмана, является алгоритмической реализацией принципа оптимальной
стратегии. Для рассматриваемой здесь задачи этот принцип заключается в том,
что каков бы ни был уровень бассейна в данный момент и каково бы ни было
предшествующее управление, всегда выгодно использовать оптимальное управление
для оставшегося периода.
Обозначим через Gi (zH) функцию, значение которой для
некоторого уровня zH на начало /-го интервала равно сумме значений целевой
функции б интервалах от /-го до л-го при фиксированном уровне zn на конец
расчетного периода и при условии, что управление за этот период велось
оптимальным образом. Согласно этому определению максимальное значение целевой
функции за весь расчетный период равно Gt (z0), так как уровень на начало
расчетного периода z0 задан условиями задачи.
Практически для этой переменной вводится дискретность, и в
результате численное значение функции бДгн) определяется по точкам.
В процессе расчета для каждого принятого уровня z„ в
начале t-ro интервала определяется оптимальный конечный уровень бассейна. Тем
самым определяются функции z„, (zK), выражающие оптимальный уровень zK,
следующий за zH для каждого 1-го интервала. Используя эти функции, можно шаг
за шагом определить оптимальный ход уровней в бассейне за весь расчетный
период, начиная с уровня z0, заданного на начало расчетного периода Т.
Таким образом, применение метода динамического
программирования позволяет свести задачу оптимизации функции (п — 1) -й
переменной (7.7) к оптимизации (п — 1)-й функции одной переменной (7.9). Этот
метод обладает высокой надежностью, особенно при решении многоэкстремальных
задач.
При расчете пикового режима работы эксплуатируемой ПЭС,
когда к ней предъявляется требование заданного гарантированного участия в
покрытии графика нагрузки, оптимизационная задача может быть много-
экстремальной. Возможность получить глобальный оптимум при любых исходных
данных и с любой наперед заданной точностью имеет решающее значение при
выборе метода оптимизации для расчета режима эксплуатации действующей ПЭС.
Метод динамического программирования в его общем виде
реализован в программах для ЭВМ, на основе которых ведется эксплуатация ПЭС
При расчете оптимальных режимов ПЭС для целей
проектирования приходится рассматривать различные варианты ее параметров.
Здесь решающее значение приобретает машинное время, необходимое для получения
решения. Требования к точности решения могут быть снижены, так как точность
задания характеристик проектируемой ПЭС меньше, чем действующей.
В проектных расчетах представляет интерес энергоотдача ПЭС
лишь при предельно возможном по мощности участии ее в пиковой зоне графика
нагрузки. В этом случае задача оптимизации пикового режима ПЭС становится
одноэкстремальной и для ее решения допустимо применение локального метода
оптимизации.
Эффективно решить задачу оптимизации водно-энергетического
режима проектируемой ПЭС удается, используя модификацию метода динамического
программирования, получившую в литературе название метода дифференциального динамического
программирования
В схеме расчетов по методу дифференциального динамического
программирования: задается какой-либо режим уровней бассейна ПЭС (режим
начального приближения). Затем реализуется обычный метод динамического
программирования, но при построении функций Gt (zH) и zHj (zK) в каждом
временном интервале А/ рассматриваются лишь три значения для уровня бассейна:
z*, z* + Az, z* — Az, где z* — уровень начального приближения. Полученный при
этом условии оптимальный режим рассматривается как новое начальное приближение,
и решение повторяется. Подобные итерации выполняются до тех пор, пока в двух
соседних итерациях режимы не будут одинаковыми, свидетельством чего явится
равенство для них значения целевой функции.
Поскольку метод дифференциального^ динамического программировав
ния является итерационным методом, заключающимся в последовательном улучшении
режима начального приближения, естественно, возникает вопрос о его
сходимости. Известно, что любой итерационный метод выдвигает проблему
начального приближения. Чем ближе к оптимальному режиму задано начальное
приближение, тем меньше итераций, а следовательно, и времени счета
потребуется для его <угыскания. При учете ограничений штрафными функциями
режим начального приближения желательно задавать так, чтобы не было нарушения
ограничений, поскольку наличие штрафов в начальном приближении приводит к
ухудшению сходимости итерационного процесса, а значит, к увеличению времени
счета.
Рациональный выбор начального приближения, а также
стратегии изменения шага Az на разных итерациях существенно уменьшает
необходимое для получения решения число итераций.
Когда от ПЭС не требуется обязательного участия заданной
мощностью в покрытии пика, ограничение по минимально допустимой мощности,
генерируемой на ПЭС,отсутствует. Все остальные ограничения, как показано в в
§ 6.4, могут быть выдержаны, и, следовательно, всегда можно найти допустимый
режим, т. е. режим без нарушения ограничений.
Допустимый режим начального приближения в рассматриваемом
случае находится следующим образом. Если zn — z„, то в качестве начального
приближения можно взять постоянный уровень воды в бассейне, равный z0,
поскольку согласно в этом случае QH.6 = 0 для любого момента времени. При
работе ПЭС в базисном режиме и отсутствии расхода через ее створ все
ограничения выполнены, а значит, такой режим будет допустимым.
Рассмотрим случай, когда zn фг0. Очевидно, что для любого
уровня бассейна zH, заданного на начало расчетного интервала, существует
максимальный zMaKC (как и минимальный гмин) уровень на конец этого интер-
вала, которого можно достичь, не нарушая ограничений. Признаком достижимости
уровня zK от уровня zH является отсутствие штрафа в значении целевой функции
Ft (zH, zK). Максимально и минимально достижимые уровни всегда существуют,
поскольку при zH = zK QH.6 = 0, и штраф в целевой функции отсутствует.
Пусть z„ > z0. Начиная с уровня z0 последовательно в
каждом i-м интервале находим максимально достижимый уровень на его конец до
тех пор, пока к концу некоторого k-ro (1 ^ k ^ п) интервала не будет
достигнут уровень гп. Если за весь расчетный период, начиная с уровня z0, не
удается наполнить бассейн до zn, то задача оптимизации режима ПЭС при
заданных z0 и zn не может быть решена и требуется изменить исходные данные.
Допустимое начальное приближение уровней для интервалов от 1-го до k-го будет
соответствовать полученной линии максимального наполнения бассейна, а для
интервалов от (k 4- 1)-го до п-го — постоянному уровню бассейна, равному zn.
В случае, когда zn < z0, задача решается аналогично,
только в каждом интервале находится минимально достижимый уровень на его
коней и строится линия максимальной сра- ботки.
Способ получения допустимого режима при расчете пикового
режима излагается в § 8.2.
Проведем сопоставление рассмотренных модификаций метода
динамического программирования при^при— менении их к оптимизации базисного
режима ПЭС.
Требуемую память Рл и машинное время Т1 для метода
дифференциального динамического программирования можно вычислить по следующим
формулам:
(п — 1)+ З^Зл; — + Pi) (я — 1 Мф» (7-12) где п — число
расчетных интервалов длиной At; ди — число итераций, необходимых для
получения оптимального режима; — среднее время вычисления целевой функции в в
расчетном интервале; рх — среднее число расчетов целевой функции, необходимых
для нахождения предельного уровня бассейна при построении допустимого
начального режима; рч можно рассчитать по (7.11) для среднего значения
предельного изменения уровня бассейна за время At.
Рассмотрим теперь метод динамического программирования в
его общем виде, как у Беллмана. Объем памяти, необходимый для хранения
функций Gi (zH) и z„ i (zK), определяется диапазоном возможных значений
уровня в интервале В и дискретностью уровня ео, допустимой по условиям
аппроксимации этих функций. Обычно В = 2НПУ — 2УМО. Для функций zH i (zK)
требуется хранить Beg1 (п— 1) чисел, а для функций Gt (zH) с учетом их
последовательного замещения в памяти — ВъЬ чисел. Следовательно, общий объем
памяти Р2. необходимый для реализации метода Беллмана, P2 = B&q1 п.
Решая задачу для некоторого zH, нет необходимости
рассматривать весь диапазон возможных значений для zK, а достаточно
рассмотреть изменение его от минимально достижимого без нарушения ограничений
уровня на конец расчетного интерва- ла zMHH до максимально достижимого уровня
zMaKC. Обозначим требуемую точность решения задачи через е2. Очевидно, что с
такой же точностью должны быть определены и гмакс, и гмин, так как в
противном случае появляется риск не найти оптимальное значение zK с нужной
точностью. Количество вычислений целевой функции для отыскания zMaKC и 2мин
можно оценить. Пусть для среднего значения гмакс эта величина равна р2, а для
среднего значения гмин — р2. Если предположить, что при решении задачи (7.9)
для нахождения оптимального значения zK для некоторого zH требуется рф раз вычислить
целевую функцию, то общее время, необходимое для оптимизации режима ПЭС общим
методом динамического программирования, можно оценить как (7.14)
Опыт практических расчетов режимов ПЭС [202, 262]
показывает, что приемлемая точность аппроксимации функций Gt (zH) и zH ( (zK)
получается при делении всего диапазона изменения уровней на 100 интервалов,
что при В = 10 м соответствует точности по уровню ее = 0,1 м. Точность решения задачи (7.9) должна быть намного более высокой (обычно ег = = 0,005 м), поскольку при больших площадях бассейна ПЭС изменение уровня бассейна на ег за интервал At
= 10-^-30 мин приводит к существенному изменению среднего расхода через створ
ПЭС. Среднее значение предельно допустимого изменения уровня AZap за интервал
At в сторону как увеличения, так и снижения приблизительно равно 0,25 м при At = = 15 мин. Следовательно, можно считать pj — рг = Р2 = р. В соответствии с (7.11) для
Aznp — 0,25 м и ег=0,005 м получим р = 5,64, или, округляя
Из (7.12) и (7.13) видно, что по затратам памяти метод
дифференциального динамического программирования при оптимизации базисного
режима ПЭС более чем в 30 раз экономичнее, чем метод Беллмана.
Даже в предельном случае, если принять Рф в (7.16) равным
нулю, метод дифференциального динамического программирования требует мень-
машинного времени по сравнению с методом Беллмана, если для получения
оптимального режима необходимо менее 132 итераций. В практических расчетах
число итераций при оптимизации базисного режима ПЭС нг превышает 50.
Теоретически минимальное значение коэффициента эффективности получается для
этих условий равным 2,65. Следовательно, как по расходу памяти, так и по
требуемому для расчета машинному времени метод дифференциального
динамического программирования имеет существенное преимущество при
оптимизации базисного режима ПЭС.
При оптимизации пикового режима ПЭС скорость сходимости
метода дифференциального динамического программирования ниже, однако и в этом
случае потребное количество итераций не превыашет 200. Учитывая, что
получение допустимого начального приближения при расчете пикового режима
намного сложнее, чем при расчете базисного режима, необходимо в (7.15)
принять большее значение рг. Приняв с большим запасом рх = 200, получим, что
метод дифференциального динамического программирования оказывается
эффективнее метода Беллмана уже при Рф >8. Обычно все же требуется больше
8 раз вычислять значение целевой функции для отыскания zK, доставляющего
максимум G,- в (7.9), с точностью ег в диапазоне от 2МЯН до гмакс.
|